需要·過程·價值·思想

姚偉均

摘 要：應用題是傳統數學教材的經典板塊，也是傳統數學教學中的重要內容。在有些學生的認知觀念里，應用題有時甚至還成為“數學”的代名詞。《義務教育數學課程標準》將傳統的應用題改名為解決問題，主要是讓小學數學教師不要被原有的應用題所束縛。換成新的表達方式，能夠更好地反映小學數學課程所應該追求的目標，培養學生解決問題的能力。昔日應用題教學與今天解決問題教學不僅僅是名稱上的不同，從教材的內容編排、呈現方式到教學目標，從教師的教學方式到學生的學習方式上都有了顯著的變化。

關鍵詞：小學；應用題；策略；途徑

一、分析“解決問題的策略”教學目標的定位

《義務教育數學課程標準》指出：“數學教學要形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力和創新精神。”基于新課標解決問題的策略教學時提出的教學目標與傳統應用題教學相比應有以下幾方面的區別。

1.素材處理

應用題基于“解題”這一目標出發，將已整理好不多不少的已知條件和問題直接呈現給學生，結論有確定性的唯一結論，學生的任務就是解題。而處理解決問題策略的教學素材時，很多素材中呈現的數學問題，如果僅從解決問題的角度，也許可以采用多種方法解決，甚至本課要學習的策略或許還不是最佳策略，而是透過學習素材本身并通過解決問題的過程所形成的相關策略。

2.過程與方法

傳統應用題教學將應用題歸成類，集中一類問題進行思考，學生思維以模仿為主，思路訓練模式化，強調速度和技巧，而解決問題直接指向的是學生學習數學的“過程和方法”目標，強調的是尋求解決數學問題的途徑與方法的活動過程，可以通過實踐、思考、探索、交流等，使學生學習一些解決問題的基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，逐步學會“數學的思維”，以實現數學課程的目標。

3.價值取向

傳統應用題教學往往是結合某一個具體的知識點來獲取新技能的一種手段，通過問題來引入、復習、鞏固和評估數學知識，從而獲得新技能，而新課標教材中的解決問題的價值不只是單純為了獲得某一具體的結論，而是使學生在解決問題過程中所運用的策略達到深刻理解和掌握的水平，從而達到提升學生的數學思想，感受相關數學思想方法的意義為主要價值取向。

二、落實“解決問題的策略”教學目標的途徑

由于《義務教育數學課程標準》中的“解決問題的策略”教學目標不同于傳統教材中的應用題教學。從這個目標來看，學會解題僅是解決問題整體目標中的一個組成部分。那么在教學過程中，如何落實“解決問題的策略”教學目標呢？筆者結合自己的教學實踐談談關于新課程下落實“解決問題的策略”教學目標的一些思考。

1.學習素材追尋策略產生的需要

新課程人教版中解決問題的素材情境呈現信息的方式是多樣的，有以主題情境圖的形式呈現的，也有以文字形式呈現的，更多的是以圖文結合的形式呈現的；素材的呈現方式有直接提出問題的，有用對話出示的，還有請學生自己提出數學問題的。于是，如何將雜亂的學習素材進行有條理地整理？如何根據所提供的素材去尋找相關信息就成為解決問題的重要策略。在教學時，我們應該從“策略”的角度來教學解決問題，即我們所選的學習素材能讓學生在解決問題的過程中產生尋求這一策略的需要。

例：《簡單的組合》（人教版三年級上冊）

教材以畫圖的策略整理信息作為教學的切入口。例題以中國隊參加的2002年世界杯足球賽為背景，中國隊所在的C組共有四個國家足球隊，小組賽時每兩個隊踢一場比賽，一共要踢多少場為素材，讓學生用畫圖的策略整理信息，學習有順序地全面思考問題的方法，體會畫圖策略對解決問題的作用。在教學時，解決問題不是最終目標，讓學生在解決問題的過程中逐步掌握有順序地、全面地思考問題的方法才是教學的落腳點。因此，在例題教學時可以按照“觀察猜測→畫圖驗證”為活動線索，重在引導學生經歷有條理的思考過程，理解畫圖的結構，并通過畫圖引發解題思路，找到解題方法。

在教學這部分內容時，要遵循“學習素材追尋策略產生的需要”為目標，讓學生在解決實際問題的過程中學會畫圖策略，并逐漸養成有條理、全面地思考問題的習慣。而且，在學習畫圖的策略時，也需要靈活和簡化。例如，在教學上述例題時，可以引導學生逐步簡化畫圖的形式，甚至以符號化的方式進行表示，即從有形的圖示過渡到無形的圖示，逐漸提升學生畫圖的符號化水平（如下圖）。

可見，在教學“解決問題的策略”時，首要的目標不是解決問題本身，不是解決問題的具體方法，也不是解決問題的類型，而是透過學習素材本身并通過解決問題的過程所形成的相關策略。

2.親身經歷追尋策略形成的過程

對解決問題過程的關注，意味著對學生在解決問題過程中思維參與的關注。有效的數學教學，應該從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程。因此，在解決問題策略教學中，讓學生經歷策略的形成過程是必須追求的重要目標。

教學解決問題的策略時，如何讓學生不斷親身經歷策略的形成過程呢？這首先需要教師對學習內容的正確理解和對學習過程的精心設計。

例：《雞兔同籠》（人教版六年級上冊）

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教師首先可以讓學生用最“樸素”的想法——猜測。分別猜測雞、兔各有多少只，然后驗證腳的只數是否對應，通過這種不斷地猜測、嘗試，最終找到答案。再將學生猜測、驗證所得的結果，繪制成表格，使得列表自然生成，這樣可以幫助學生按順序尋找答案，但當數據較大時，過程頗為繁瑣。

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在應用列表的基礎上，教師應引導學生思考更具有邏輯性和一般性的解法，組織學生“自主探索→探究驗證→建立模型→靈活應用”，讓學生通過假設開展畫圖、敘說、推想、驗證、比較、概括等豐富多樣的數學活動，完整地經歷假設策略的形成過程。這樣的設計可以讓學生的思維經歷從無序到有序、從特殊到一般、從借鑒到創新、從膚淺到深刻等方面發生巨大變化，學生的思維能力也得到極大的提升。

特別需要指出的是，假設有多種思路，除假設籠子里都是雞或者都是兔的方法外，抬腿法也是假設法的一種。每種思路還可以附以形象的解釋，如讓所有的兔子都抬起兩只前腳，實際上就是把籠子里的動物都看成雞。當然，還可以假設雞也有4只腳，把籠子里的動物都看成兔子。還有相當一部分學生可能會選擇用列方程的方法來解決該類問題，設雞或兔任何一個量為x，然后根據雞、兔的只數與腳的總只數的關系列出方程并進行解答。這種方法思路清晰，易于理解，教學中教師應注意讓學生體會方程解法的一般性。這樣的探究性學習，有利于學生對假設策略的認知水平達到精加工狀態，有利于學生假設思考的數學化和模型化，從而形成對假設策略的本質理解。

3.體驗反思追尋策略應用的價值

策略的有效形成必然伴隨著對自己行為的不斷體驗與反思。在數學教學中，教師不但要及時地引導學生對自己解決問題的過程進行體驗與反思，更重要的是作為教師和學生，都應該反思解決問題策略的價值到底是什么，為什么要使用這種策略，怎樣使用這種策略，使用策略有什么好處，在什么情況下使用該策略，等等。這樣的反思不僅有利于提高學生對自身形成策略過程的認識，更有利于每個學生獲得對問題的深入理解，并深深體驗到作為策略的獨特價值。

在教學中，可以通過每一個問題的解決讓學生不斷回顧解題過程，讓學生比較策略，使用前后的數量特征，讓學生探尋策略，使用中的數量變化情況等等。例如，在教學“雞兔同籠”時，從課初的隨意猜想到表格中的有序猜想，從一般驗證到表格中數據變化規律的發現，從列表法自然聯想到假設法、代數法后，應該組織學生反思和比較，著力思考“為什么需要假設策略”“假設的依據到底是什么”“假設之后數量關系發生了什么變化”等問題，在體驗與反思中逐步建構假設策略的數學模型。進而使學生初步體會到假設策略的價值——要求兩個或兩個以上的未知量，思考時可以先假設要求的兩個或幾個未知數相等，或者先假設兩種要求的未知量是同一種量，然后按題中的已知條件進行推算，并對照已知條件，把數量上出現的矛盾加以適當地調整，最后找到答案。在例題教學之后，應該直接進行比較和反思，還可以繼續通過例題變式性練習和鞏固應用性練習，讓學生在運用策略解決問題的之前和之后，不斷體驗到假設策略的獨特優勢——使復雜的問題簡單化。這樣的學習過程設計，學生不僅獲得了解決同類問題的成功經驗，更重要的是不斷增強了運用假設策略解決問題的自覺性，從而體會到了作為策略的應用價值。

4.不斷積累提升策略的數學思想

“解決問題的策略”不僅僅對應的是某種具體的方法，其背后蘊含著豐富的數學基本思想或方法，對策略的教學不能認為只是一種知識性教學，而是對其的理解必須上升到數學基本思想或方法上來。不過，方法和策略的獲得并不是教學的終極目的，我們應該通過策略的學習，幫助學生不斷積累數學活動經驗，感受解題策略價值，提升數學思想方法。

例：《梯形的面積》（人教版五年級上冊）

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作為五年級的學生，已經積累了比較多的解決問題的實際經驗（包括解決問題的基本方法和策略），從某種意義上說，此處教學的《梯形的面積》其實是解決問題時經常采用的一種方法——“轉化”，能把較復雜的問題變成較簡單的問題，把新穎的問題變成已經解決的問題。轉化的手段和具體方法是多樣而靈活的，既與實際問題的內容和特點有關，也與學生的認知結構有關。通過前幾冊教材的學習，學生已經大量積累了應用“轉化”策略來解決問題的經驗。而且，從教材的編排流程可以看出，“轉化”作為解決問題的一種常用策略，是學生靈活運用多種方法（如畫圖、代換等）解決問題的過程中感悟獲得的。隨著學習的深入，學生所遇到問題的類型在不斷變換，而解決這些不同類型問題的策略卻始終如一，學生對轉化策略的運用越來越熟，對策略的理解也越來越深，從而形成“化歸”“數形結合”等重要數學思想。

綜上所述，在教學“解決問題的策略”時，我們應選擇服務于策略需要的相關素材，讓學生經歷策略的形成過程，不斷反思作為策略的價值，從而提升學生的數學思想。由此可見，“解決問題的策略”不能以解決教材中的問題為目的，更不能把會利用策略解決某一具體問題作為教學目標，讓學生在學習和運用策略解決問題的過程中，體會策略的實質及蘊含的數學思想，感受數學的魅力。

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（作者單位 浙江省諸暨市店口鎮第一小學）

編輯 韓 曉