巧用平面向量知識，優化數學解題方法

刁克

摘 要： 由于平面向量具有幾何形式和代數形式的“雙重身份”，使它成為中學數學知識的一個交匯點，成為聯系多項內容的媒介.同時也因為平面向量的這種獨特身份，涉及的有關試題往往靈活多變，難以把握，方法也多種多樣.如果能選擇恰當的解法就可以起到化繁為簡、化難為易的作用，給解題帶來很大的方便.

關鍵詞： 平面向量 坐標法 幾何法

一

平面向量作為一種工具性知識引入到高中教材，給許多平面幾何問題的求解帶來了很大的方便，特別是在處理度量、角度、平行、垂直等問題時，平面向量有其獨到之處.但同時也因向量的表達形式和運算形式的靈活性，許多學生對于運用向量解題不太習慣，感到無從下手，往往是既花費大量時間又效果甚微.

【例題】（2012年蘇州市統測）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=■，AD=1，BC=2，P是腰AB所在直線上的動點，則|3■+2■|的最小值為？搖？搖 ？搖？搖.

學生此題的得分率非常低，全班僅有幾名同學拿到了滿分.大部分同學不是無從下手，就是花了許多時間只解出一部分，不能得出最終的結果.其實解這道題目的方法有很多，整理一下發現它們涵蓋了平面向量的很多解法，不失為平面向量的典型題目.現整理如下：

解法一：坐標法（代數法）

如圖1，以B為坐標原點，BC為x軸，建立直角坐標系.

圖1

由題意可設A（a，■a），P（t，■t），則B（0，0），C（2，0），D（a+1，■a），從而3■+2■=（8+2a-5t，2■a-5■t），所以|3■+2■|■=（8+2a-5t）■+（2■a-5■t）■=100t■-80（a+1）t+16a■+32a+64.

因為t∈R，所以|3■+2■|■■=■=48，|3■+2■|的最小值為4■.

分析：上述計算中涉及兩個變量a、t，許多學生計算不過關，或者沒有一定的自信，很難算出最終的結果.為了減少計算，針對這類填空題可從特例出發，以下兩種特殊算法值得一試.

特例1：設AB=2，則上述方法中A（1，■），D（2，■），這樣|3■+2■|■就只含有t一個變量，學生容易算出結果.

特例2：設梯形ABCD為直角梯形，∠C=∠D=90°，此時以C為坐標原點，CB為x軸，CD為y軸，建立直角坐標系.這種情況下即使高CD不固定，計算也簡化不少.當然也可再固定CD=1，則更容易獲解.

解法二：基向量法（幾何法）

把■，■作為基向量做如下分解：3■+2■=3（■+■）+2（■+■），因為2■=■，所以3■+2■=（3■+2■）+4■.考慮到P是直線AB上的點，可設3■+2■=λ■（λ∈R），此時3■+2■=λ■+4■.下面對λ進行分類：

（1）當λ≥0時，設λ■=■，4■=■，則3■+2■=■，如圖2：

由圖2可知越大，BG的長度越大，|3■+2■|也越大，所以當λ=0時，|3■+2■|min=8.

圖2

（2）當λ<0時，如圖3可知當BG⊥FG，即G為圖中G′時，|3■+2■|■=8×sin60°=4■.

結合（1）（2）可知|3■+2■|的最小值為4■.

圖3

解法三：幾何性質法（幾何法）

結合平行四邊形的性質：如圖4，平行四邊形ABCD和直線l，過四個頂點分別作四條平行線，交l于E、F、G、H四點，則有結論AE-DE=BF-CG.

圖4

運用上述結論，設3■+2■=■，則點E為平行四邊形PCEG的一個頂點，可看成沿BC方向離開直線AB共3×2+2×1=8個單位，進一步得到|3■+2■|■=8×sin60°=4■.

二

以上三種解法各有優缺，適合不同類型的向量題，就上題而言解法二、解法三明顯優于解法一，選擇解法二、解法三的同學不僅節約了很多計算的時間，正確率也相對要高很多，尤其是解法三更是既迅速又準確.所以平面向量的解法選擇尤為重要，探索平面向量的解法也十分必要.一般來說可歸納如下.

（一）適合坐標法的情況.

1.題目中已有坐標

例1.（2009年江蘇高考第15題）設向量■=（4cosα，sinα），■=（sinβ，4cosβ），■=（cosβ，-4sinβ），

（1）若■與■-2■垂直，求tan（α+β）的值；

（2）求|■+■|的最大值；

（3）若tanαtanβ=16，求證：■∥■.

分析：簡單運用兩向量平行、垂直的充要條件和向量模的公式即可.

2.題目中所給圖形或條件中有直角

例2.（2012年江蘇高考第9題）如圖5，在矩形ABCD中，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若■·■=■，則■·■的值是？搖 ？搖？搖？搖.

圖5

分析：以AB為x軸、AD為y軸建立平面直角坐標系，運用已知條件解出A、B、E、F四點的坐標，再運用數量積公式就可.

3.題目中所給圖形具有對稱性等特征適合建系

例3.在正△ABC中，D是邊BC上的一點.若AB=3，BD=1，則■·■=？搖？搖 ？搖？搖.

分析：可以BC為x軸，BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，非常容易求出A、B、D三點的坐標，再代入計算即可.

（二）適合幾何法的情況.

1.基向量法

當題中所給條件涉及兩個不共線的非零向量時，或知道它們的模，或知道它們的夾角等，就要考慮用基向量的方法了.

例4.若等邊△ABC的邊長為2■，平面內一點M滿足■=■■+■■，則■·■=？搖？搖 ？搖？搖.

分析：由題目含義可把■，■作為基向量，■，■均用它們線性表示，再運用數量積有關知識解題即可.

例5.如圖6，O，A，B是平面上的三個點，向量■=a，■=b，設P為線段AB垂直平分線上的任意一點，■=p，若|a|=4，|b|=2，則p·（a-b）=？搖？搖 ？搖？搖.

圖6

分析：抓住PC⊥AB這一條件，先把p寫成■+■，此時p·（a-b）=（■+■）·■=■·■，再把a，b作為基向量表示■，■代入計算就可以了.

2.幾何性質法

從向量加減法的幾何意義出發，三角形和平行四邊形在平面向量中有特殊含義，巧妙用好這兩個特征圖形在解題中往往會收到意想不到的效果.

例6.已知兩個非零向量a，b滿足|a+b|=|a-b|，則a，b的夾角為？搖？搖 ？搖？搖.

分析：根據向量加法、減法的幾何意義可知|a+b|與|a-b|分別表示為以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長，因為|a+b|=|a-b|，所以該平行四邊形為矩形，所以a⊥b.

例7.已知■，■是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量■滿足（■-■）·（■-■）=0，則|■|的最大值是？搖 ？搖？搖？搖.

分析：可把■，■，■移至共起點的三個向量，起點為O，終點分別為A，B，C.由（■-■）·（■-■）=0，點C的軌跡是以AB為直徑的圓，運用圓的有關知識解答該題就可以了.

另外針對平面向量的填空題，特例的方法也不容忽視.很多問題從特殊化方法入手進行探求，往往可以可以迅速準確地獲得答案.

例8.過△ABC的重心作一直線分別交AB，AC于D，E，若■=x■，■=y■，（xy≠0），則■+■的值為？搖？搖 ？搖？搖.

分析：可把直線特例為平行于底邊或者直接特例為中線都可以順利解出該題.

例9.已知點O是銳角△ABC的外接圓的圓心，且∠A=θ，若■■+■■=2m■，則m=？搖？搖 ？搖？搖（用θ表示）.

分析：取特殊三角形來處理，△ABC特例為正三角形，求出m=■=sinθ.

三

以上是優化平面向量解題常用的幾種方法，在解決平面向量問題時，減少運算量、加快解題速度的方法還有不少，只要在平時的練習中多實踐、多總結，就能做到以簡馭繁、事半功倍.在數學解題教學中，要注意發展學生個性心理，提高學生數學素養，培養學生靈活運用知識，勇于面對復雜問題或較難的問題.這就要求教師在平時的教學過程中做到以下幾點.

（一）教會學生審題，培養學生思考的習慣.

審題是發現解法的前提，其重要性可用一句話概括：“問題想得透徹，意味著問題解決了一半.”教師要教會學生怎樣審題，培養學生良好的思考習慣，就應從學生審題這一環節開始抓起，引導學生多角度觀察，找聯系，由表及里抓本質.

（二）一題多解或一法多用，開拓學生思維廣度.

思路開闊，能全面地分析問題，多方面地思考問題，多角度地研究問題，關于對數學問題的特征、差異和隱含關系等進行具體分析，作出廣泛聯想.因而在解題教學中多采用一題多解或一法多用，可以有的放矢地引導學生不拘泥于教材中的已有結論和方法，用新穎的數學方法研究解決新問題.

（三）和學生一起改造題目，拓展學生思維深度.

在解題教學中要注重學生數學思維的智力品質的培養，對于數學問題的思考，能夠抓住問題的本質和規律深入細致地加以分析和解決，而不被一些表面現象所迷惑.善于引申問題，把思維向縱深發展，使思維達到突破常規的靈活變通的特征.

（四）在解題教學中強化數學思想，發展學生的數學觀念系統.

數學解題就是要在條件和結論之間給出一個數學原理的序列，數學原理序列既包括數學知識的聯結，又包括數學方法的推進，而知識和方法是一個統一體，兩者都反映了一定的數學思想.

解題以后善于從數學思想上進行提煉和反思，這時強化數學思想，對經驗升華和理性化都有益.

總之，評價一堂數學習題課是否成功，要看學生是否能積極參與教學過程，思維是否得到了發展，這完全取決于教師的主導作用.教師只有把學生當成學習的主人，在教學設計和組織中為學生留下思維的時間和空間，給學生創造顯示才華的機會，才能真正達到解題教學的目的.