股指期貨定價研究

郭洪斌 黃飛霞

摘 要：本文以股票市場的價格波動形式為前提，提出了基于股票市場波動形式的定價模型。并依據有效市場假說得到了股指期貨應遵循的微分方程，最終得到股指期貨定價公式。而后又將此模型進一步擴展，提出了基于分形市場假說的股指期貨價格應遵循的微分方程和定價公式。最后以滬深300指數期貨合約為例對推導出的定價公式進行了實證檢驗。

關鍵詞：股指期貨；EMH；FMH

中圖分類號：F832.5 文獻標識碼：A〓 文章編號：1003-9031（2013）08-0025-06 DOI：10.3969/j.issn.1003-9031.2013.08.06

一、引言

金融期貨是指以金融工具或金融資產作為標的物的期貨交易方式。金融期貨交易產生于20世紀70年代的美國期貨市場，從產生到現在不過短短的40余年，然而其發展速度卻遠比商品期貨快得多。世界上出現最早的金融期貨品種是外匯期貨，之后是利率期貨、股指期貨。20世紀70年代西方各國經濟告別了第二次世界大戰后持續20多年的“黃金”階段，陷入了前所未有的經濟和金融雙混亂時期。在此壓力下，股市危機頻頻出現，創造一個合適的股市避險工具便迫在眉睫。經歷了3年多的爭論，美國商品交易委員會最終于1982年2月同意引進股指期貨合約，股指期貨開始了其不平凡的發展歷程。

股指期貨登陸中國相對較晚，2006年9月8日，中國金融期貨交易所掛牌成立，開始為股指期貨登陸中國做準備。再歷時3年半之后，中國內地首個金融期貨品種滬深300股票指數期貨合約終于在2010年4月16日上午9時15分在中國金融期貨交易所正式交易。

二、股指期貨定價模型的理論綜述

期貨定價的理論基礎是：隨著期貨合約交割月份的逼近，期貨價格收斂于現貨價格。其原因可以解釋為：如果在交割期間期貨價格高于現貨價格，人們就可以賣空期貨合約買入資產進行交割從而獲得盈利，然而這種盈利機會一旦被交易者發現，類似的交易行為就會使期貨價格下降；如果在交割期間期貨的價格低于現貨的價格，準備獲得相應標的資產的交易者就會發現購買期貨合約直到交割會更為有利，一旦交易者如此操作，期貨的價格就會上升。如此一來就保證了期貨價格最終收斂于現貨價格。雖然股指期貨的標的資產是股票指數，但股指期貨的合約是以現金結算并按最后交易日結束時的價格盯市，了結相應頭寸，這也會使得期貨的價格收斂于現貨價格。對于股指期貨的主流定價方法大體可以分為套利定價法、現金—持有定價法、市場均衡定價法[1]。

套利定價法是基于無套利定價原理的方法。該方法是建立在完美的資本市場、無交易成本、相同的風險利率、忽略期貨價格和遠期價格的差別的假設基礎之上。基于以上假設構造兩組策略，一組為期貨合約，外加借入期貨價格現值的資金并投資于無風險資產；另一組為期貨合約標的的股票組合。當到期日固定的時候兩者的價值應該相等，否則就會存在套利空間，進而得到期貨的定價公式。此種定價方法是最早的期貨定價方法，幾乎適用于所有的期貨品種，但標的資產的不同，又使得此種定價的效果差異很大[2]。現金—持有定價法是1983年在套利模型的基礎之上提出的。該模型認為股指期貨合約價格是相應股票現貨價格與融資成本之和再去除股息收益。之后又引入利率因素、稅負因素和股利季節性波動因素到定價模型中，但實踐的結果表明理論值與實際值之間存在很大的偏差[3]。市場均衡定價方法是基于一般均衡理論提出的，該模型把利率隨機形式以及市場波動性納入股指期貨定價模型之中，推導出了一般均衡定價模型。三類定價方法并沒有本質的區別，是一脈相承的有機整體。套利定價定價方法是基礎，現金—持有成本模型是發展，市場均衡定價法是深化。但他們之間還是略有不同，前二者將現貨股票市場的價格對股指期貨價格的影響看成是外生的因素，沒有充分考慮現貨價格與期貨價格內在的動態關聯性，最后定價方法考慮了理論和股票價格的波動，將市場總體的波動性融入到了總體的股指期貨定價方法中。但是，無論哪一種方法都存在難以實現的假設，每種方法都有其存在的依據和價值，也都有其存在的優缺點。

三、股指期貨定價模型的新探

資本市場最基本的功能就是經濟資源的重新配置，理想的資本市場價格應該是經濟資源配置的正確信號。如果資本市場上的資本價格完全反映了所有可得到信息，這便是有效市場，以此為基礎形成的理論便是有效市場假說（EMH）。直到1970年，Fama在其經典文獻《有效資本市場：理論和實證研究回顧》中對有效市場假說的思想進行了總結，提出了有效市場的定義，即：在有效市場中，證券價格總是能完全反映所有可獲得信息變化的影響。Fama還將有效市場分為弱式有效、強式有效和半強式有效市場三種類型[4]。自從Fama提出EMH以來，圍繞EMH的爭論就從來沒有停止過。其爭論的焦點多集中在資本市場是線性還是非線性。在不斷地爭論中逐漸形成了以分形理論為基礎的關于資本市場有效性的分形市場假說（FMH）。“分形市場假說強調了流動性的影響以及基于投資者行為之上的投資起點。不同于有效市場假說的EHM，分形市場假說FMH認為，信息依其投資者的投資起點而被評價。因為不同的投資起點對信息的估價是不同的，信息的傳播是參差不齊的。價格不可能每一次都反映所有適合的信息，而只反映對投資起點的信息”[5]。以下我們分別以有效市場假說（EMH）和分形市場假說（FMH）為起點，建立股指期貨的定價模型。

（一）基于有效市場假說（EMH）的股指期貨定價模型

根據有效市場假說，我們可以得到股票的價格變化過程符合布朗運動，即：

■=μdt +？滓dz （1）

其中，dz代表影響股票價格變化的隨機因素，通常被稱之為標準布朗運動或維納過程。

設△t表示一個小的時間間隔長度，△z代表變量z在△t時間內的變化，如果變量z遵循標準布朗運動，則有△z=ε■；△z與△t相互獨立的結論。“在現實生活中大部分變量的運動過程不僅包括隨機波動，還可能存在時間趨勢等特征，而且隨機波動的方差不一定等于時間長度”。因此，我們可以引入普通布朗運動對現實運動進行描述，其形式為dx=adt+bdz。

其中，a表示x的漂移率（漂移率是指單位時間內變量x均值的變化值）；b表示方差率（方差率是指單位時間的方差）。如果變量x的漂移率和方差率均為變量x和時間t的函數，則說變量x服從伊藤過程（Ito Process）。

在此基礎上伊藤進一步推出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數G（x，t）將遵循如下過程：

可以看出G也遵循伊藤過程，漂移率為■a+■+■■b2，方差率為（■） b2。

根據股票價格服從布朗運動可以得到：

顯然這是一個漂移率為μS，方差率為？滓2S2的伊藤過程，那么

當一個變量服從普通布朗運動時，其在任意時間長度T-t內的變化值服從均值為a（T-t），方差為b2（T-t）的正態分布，也就是說，

其中，lnS表示當前t時刻股票價格的自然對數，1nST 為未來T時刻股票價格的自然對數，即

根據對數正態分布的基本性質，可以得到T時刻的股票價格ST的均值和方差分別為E（ST）=Se■，Var（ST）=S2e■[e■-1）。

基于以上得到的結論，下面我們推導一下股票價格遵從布朗運動時，股指期貨價格遵從的規律。

假設F表示股指期貨合約的價格，S表示股票指數（即所包含一籃子股票）的價格，根據伊藤引理可得F遵循下式：

為了消除dz，我們可以構建一個包括一個股指期貨合約空頭和■單位的計算股指的股票組合，令A代表該投資組合的價值，則：

在dt時間后，該投資組合的價值變化dA為：

式（8）代入式（10）可以得到：

由于該組合不含有dz項，因此在不存在套利機會的條件下，該組合在dt內的瞬間收益率等于dt中的無風險收益。因此，

這就是股指期貨價格所要滿足的B-S-M微分方程。

根據風險中性定價原理，式（14）微分方程的解為：

F=Se■（15）

根據資本資產定價原理，μ值取決于無風險利率、標的股票的系統風險和市場的風險收益偏好。

（二）基于分形市場假說（FMH）的股指期貨定價模型

對于遵循隨機游走模型，其所涉及的事件前后互不關聯，沒有長期記憶功能，完全可以采用正態分布的分析方法加以研究。然而像股票市場這樣的時間序列，其事件前后相互關聯，呈現出很強的相關性和趨勢性，是有偏的隨機游走。對這種特征的時間序列描述則需要采用另外的非參數統計分析方法——重表極差分析法（R/S分析法）。這一方法的基本思想是，改變所研究時間長度的大小，然后研究其統計特性的變化規律。從而將大的時間尺度的規律應用于小的時間長度。用R/S分析方法得到的指數，我們稱之為Hurst指數，用H表示，H的取值范圍是[0，1]。H=■則暗示了一個獨立過程，該過程不要求基礎過程為高斯獨立過程，僅為獨立過程即可；■

在分形市場假說的理論的假設下，股票的價格變化過程符合分數布朗運動，即：

其中，BH（t）為分數布朗運動，H為Hurst參數。

在這個假定條件下，我們可以推導出：

以下我們推導在分形市場假說的情況下股指期貨價格遵循的微分方程。首先，我們假設股指期貨價格為F，股指指數價格為S，根據分數Ito過程F遵循下述規律：

構造一個包括一單位股指期貨合約空頭和■單位標的計算股指的股票組合，則該組合價值B為：

在無風險套利情況下：

式（22）兩邊取積分得：

式（23）求導得到：

這就是股指期貨價格滿足的分數B-S-M微分方程。

根據風險中性定價原理得：

（25）

由Z為均值為0，方差為1的標準正態分布，所以Z可以用■■代替得到：

通過以上的對比分析，我們可以發現基于分形市場假設的股指期貨定價公式比基于有效市場假設的股指期貨公式多了■■*■-■（T■-t■）項，當H=■時則兩個定價公式的形式相同，即：基于有效市場假設得到的股指期貨定價公式是基于分形市場假設下得到的股指期貨定價模型的特例。

（三）基于市場的期貨定價模型與傳統的期貨定價模型

期貨作為一種衍生產品，其價值取決于合約標的資產的價格。根據標的資產的不同，期貨又可以分為多種類型，基礎性證券價格的變動形式將直接影響到相應的期貨價格的變動形式。但是所有的期貨產品都具有一個共同的特點，即隨著到期日的臨近，現貨價格與期貨價格趨于一致。由此可以看出，不同的期貨產品其定價方式既有一致的一面又有不一致的一面。傳統的期貨定價模型利用期貨價格與現貨價格趨于一致的特點去預測所有時刻的期貨價格，這種定價方式忽略了基礎性證券價格之間的差異性。從某種角度來講，基礎性證券價格不同的變動形式導致了期貨價格不同的變動形式。具體來講，股票指數期貨標的資產是滬深300股票指數，其價格的變動形式與單支的股票或債券價格的變動形式是不一樣的。因此，用傳統的期貨定價模型去定價單支股票標的期貨價格是合理的，但用傳統的定價模型去定價股指期貨，其結果則不太令人滿意。滬深300股票指數是綜合反映股票市場變動情況。股票市場的價格變動一部分人認為其價格變動服從隨機游走模型（價格無長期記憶功能），另一部分人認為其價格變動服從有偏的隨機游走模型（價格有長期記憶功能）。對這兩種模型對錯優劣我們這里不做討論，我們分別假設股票市場服從隨機游走模型和有偏的隨機游走模型，然后得到股指期貨價格遵循的微分方程，進而得到股指期貨的定價模型。這里探討的定價方法是以股票市場價格變動的形式為基礎，通過數學推導得到的，相比傳統的股票定價方法，既考慮了現貨價格與期貨價格趨于一致的共性因素，又考慮股指期貨自己所特有的價格變動形式。由此預測的股指期貨價格將更加接近于實際的股指期貨價格。下文便選取股指期貨部分合約進行實證檢驗。

四、股指期貨定價的實證研究

針對以上理論接下來選取中國金融期貨交易所上市交易的滬深300指數四個期貨合約進行實證研究，四個期貨合約為IF1005、IF1006、IF1009和IF1012。選取的數據是四個合約從2010年4月16日到2010年5月6日每日收盤的期貨合約價格，相應的滬深300股票指數選取的也是每日收盤指數。從4月16至5月6日共選取了14組數據點，其中合約IF1005于5月份到期，合約IF1006于6月份到期，合約IF1009于9月份到期，合約IF1012于12月份到期，因此，這14組數據點既可以檢驗在合約臨近到期日的情況下，理論得到的期貨價格與實際的期貨價格之間的契合程度（由合約IF1005檢驗），又可以檢驗在合約距離到期日長短不一的情況下，理論得到的期貨價格與實際期貨價格之間的契合程度（由合約IF1006、IF1009和IF1012檢驗）。另外，無風險利率r選擇10年期國債利率3.36%的。股票收益選擇的是股票的平均年收益率（20%）。對于Hurst指數H的選取則相對復雜一些，對于上海股票市場來說，Hurst指數H=0.661；對于深圳股票市場來說Hurst指數H=0.643（戴國強、徐龍炳和陸蓉在《金融市場有效性探討》一書中對深滬兩市進行的R/S分析得到的結論）。我們選取二者的平均值H=0.652最為滬深300股票指數的Hurst指數進行計算。對于？滓的選取，我們可以根據以往的經驗取為？滓=0.03。根據前文推導的基于EMH下股指期貨定價公式和基于FMH下股指期貨的定價公式可以得到四種股指期貨合約的理論價值。

根據以上圖表，我們可以發現，本文推導出的兩個股指期貨定價公式均能很好地與合約實際價值相吻合。雖然理論價格并不能完全與實際的價格相匹配，但理論價格變動的趨勢與實際價格的變動趨勢是相一致的。然而股指期貨的實際價格很容易受到市場供求關系的影響，這就使得實際價格與理論價格相偏離，加之我國股指期貨市場才剛剛起步，機構投資者的炒作、投機也會使實際價格與理論價格相偏離。隨著我國股指期貨市場的不斷發展成熟，股指期貨的價格也會更加趨向于理論價格。

五、結論及不足

本文先對股指期貨定價的現有理論進行了總結和歸納，并在此基礎上，以有效市場假說和分形市場假說為假設得到了以下結論：

（一）以有效市場假說的假設為基礎，推導出了股指期貨價格所滿足的微分方程。根據風險中性定價原理對微分方程進行了求解，最終得到股指期貨價格的定價公式。實證檢驗結果也表明以此定價公式計算出的滬深300指數期貨的理論價格在趨勢上能很好地與實際的理論價格相符合，進而也驗證了公式的正確性。

（二）以資本市場的最新非線性假說——分形市場假說為前提，推導出了股指期貨價格遵循的分數微分方程，并得到了相應的定價公式。在該公式中取H=0.625、的實證研究也表明該公式計算的理論價值也與實際價格相符合。

近些年來，學術界對有效市場假說存在很多質疑，但它仍因其自身所具有的簡單特點成為了現代金融理論的基礎之一，以該假說為基礎建立起來的金融模型雖然有先天性的缺陷，但仍然對現實有重要的指導意義，而分形市場假說則是近些年來新興的金融理論，它能很好地解釋股票市場的“尖峰”和“肥尾”現象，因而逐漸地被人們認可。但現在學術上以FMH為基礎建立的金融模型很多都是對現有模型的修正。想要真正以其自身的理論建立一套金融模型還有待人們進一步去研究。本文是分別基于兩個假說理論來建立股指期貨的定價模型，雖然理論基礎不同，但方法則殊途同歸。模型本無對錯之分，哪一個模型能更好地去解釋我國股指期貨價格的確定還有待于時間去檢驗。■

（責任編輯：湯戈于）

參考文獻：

[1]郭洪鈞.股指期貨的定價問題[J].上海財經大學學報，2007（3）：68-75.

[2]中國期貨業協會.期貨市場教程[M].北京：中國財政經濟出版社，2009.

[3]鄭振龍，陳蓉.金融工程[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4]戴國強，徐龍炳，陸蓉.金融市場有效性探討[M].上海：上海財經大學出版社，2005.

[5]埃德加·E·彼得斯（著），儲海林，殷勤（譯）.分形市場分析[M].上海：上海財經大學出版社，1998.