數(shù)量關(guān)系教學(xué)實(shí)效性的辯證思考

丁楊華

【問(wèn)題呈現(xiàn)】

蘇教版五年級(jí)上冊(cè)《小數(shù)乘法和除法（二）》單元的練習(xí)中有這樣一道題：

[如果插秧機(jī)一天插秧7.5小時(shí)，人工一天插秧6小時(shí)，你能算出插秧機(jī)和人工每小時(shí)各插秧多少公頃嗎？插秧機(jī)每小時(shí)插秧的公頃數(shù)是人工的幾倍？

][人工插秧每人每天只能插秧0.042公頃][這臺(tái)插秧機(jī)每天插秧1.47公頃]

原以為這種非典型的實(shí)際問(wèn)題，只是考量學(xué)生對(duì)小數(shù)除法筆算技能的掌握情況，學(xué)生獨(dú)立完成是沒(méi)有問(wèn)題的。然而當(dāng)堂練習(xí)中，全班46人，竟有25人出現(xiàn)錯(cuò)誤。學(xué)生的錯(cuò)誤主要有：①0.042÷7.5=0.056（公頃），1.47÷6=0.245（公頃），0.245÷0.056=4.375，犯這種錯(cuò)誤的有4人；② 6÷0.042，7.5÷1.47，沒(méi)能算出結(jié)果，犯這種錯(cuò)誤的有16人；③7.5÷0.042， 6÷1.47，沒(méi)能算出結(jié)果，犯這種錯(cuò)誤的有5人。

【觀點(diǎn)碰撞】

教研組集體備課時(shí)，筆者與同組其他九位教師交流，發(fā)現(xiàn)大家所任教的班級(jí)上都出現(xiàn)了類似的錯(cuò)誤。分析原因：一致認(rèn)為上面的第一種錯(cuò)誤是審題不清，因?yàn)轭}中左邊圖文和右邊文字闡述的順序不一致，把插秧機(jī)和人工插秧的數(shù)量混淆了；第二種錯(cuò)誤是數(shù)量關(guān)系的理解錯(cuò)誤；第三種錯(cuò)誤既是審題不清，更是數(shù)量關(guān)系理解錯(cuò)誤。對(duì)于主要問(wèn)題數(shù)量關(guān)系的理解錯(cuò)誤究其原因，大家出現(xiàn)了兩種觀點(diǎn)，簡(jiǎn)述如下。

觀點(diǎn)一：課標(biāo)教材為了避免學(xué)生生搬硬套，套用關(guān)系式，刪除了“常見的數(shù)量關(guān)系”單元的教學(xué)，改成教材提供大量生動(dòng)形象的生活情境，提供豐富的感性材料，讓學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題的解決中領(lǐng)悟基本的數(shù)量關(guān)系，而不要求學(xué)生講有關(guān)數(shù)量關(guān)系的術(shù)語(yǔ)或關(guān)系式。這對(duì)于優(yōu)秀的學(xué)生而言是可行的，但對(duì)于中等偏下的學(xué)生，還是要在實(shí)際運(yùn)用中幫助學(xué)生抽象概括出基本的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生建模，學(xué)生有了一定的模型，就不易出錯(cuò)了。

觀點(diǎn)二：常見的數(shù)量關(guān)系是學(xué)生在平時(shí)生活中常見的，與生活緊密聯(lián)系的，對(duì)常見數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)理解，應(yīng)該從學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)入手，不能孤立地僅從文字上進(jìn)行理解。學(xué)生之所以會(huì)用6÷0.042，是因?yàn)樵趯W(xué)生印象和經(jīng)驗(yàn)中，“每人每天只能插秧0.042公頃”這個(gè)已知條件中出現(xiàn)了“每人每天”應(yīng)該是作為除數(shù)的。為此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)，在具體情境中理解數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生形成對(duì)數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)和整體把握，逐步學(xué)會(huì)借助數(shù)量關(guān)系來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

【后續(xù)調(diào)查】

為了了解真實(shí)的學(xué)情，筆者嘗試將原題中的數(shù)據(jù)換成了整數(shù)，并把文字?jǐn)⑹龅捻樞蛘{(diào)整一致：人工插秧每人每天只能插秧480平方米，插秧機(jī)每天插秧16000平方米。如果人工一天插秧6小時(shí)，插秧機(jī)一天插秧8小時(shí)，你能算出人工和插秧機(jī)每小時(shí)各插秧多少平方米嗎？插秧機(jī)每小時(shí)插秧的平方米數(shù)是人工的多少倍？

測(cè)試時(shí)，筆者從四年級(jí)和五年級(jí)各隨機(jī)選了一個(gè)班，學(xué)生獨(dú)立分析，列式解答。測(cè)試結(jié)果如下：四（8）班，總?cè)藬?shù)46人，正確人數(shù)39人，正確率84.78%；五（8）班，總?cè)藬?shù)45人，正確人數(shù)41人，正確率91.11%。四、五年級(jí)所有學(xué)生的錯(cuò)誤都是計(jì)算錯(cuò)誤，數(shù)字抄寫錯(cuò)誤，無(wú)一列式錯(cuò)誤。

于是，筆者隨機(jī)對(duì)五（8）班的一些學(xué)生進(jìn)行了訪談。

筆者：480÷6求的是什么呀？

生1：人工每小時(shí)插秧多少平方米。

筆者：為什么不用6÷480呀？

生2：怎么可以呀？也沒(méi)有意義啊？

生3：也不好算啊？

生4：好算的，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了小數(shù)除法啊！

筆者：6÷480沒(méi)有意義嗎？

短暫的沉默。

生5：有的。應(yīng)該表示插秧1平方米需要多少小時(shí)。

少數(shù)學(xué)生點(diǎn)頭贊同，大部分學(xué)生面帶疑惑。

……

【思考感悟】

不難看出，改編后的習(xí)題學(xué)生能解答正確，是因?yàn)樗麄儜{已有的解題經(jīng)驗(yàn)做出的解答，而非對(duì)數(shù)量關(guān)系的真正理解。原來(lái)習(xí)題的錯(cuò)誤，其根源是學(xué)生沒(méi)有真正理清其中的數(shù)量關(guān)系。小數(shù)除法中，被除數(shù)和除數(shù)誰(shuí)大誰(shuí)小沒(méi)有確定性，學(xué)生已經(jīng)具有的解題經(jīng)驗(yàn)面臨挑戰(zhàn)，在數(shù)量關(guān)系理不清的前提下，就只能憑感覺(jué)瞎做了。

2011年新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在數(shù)感、模型思想等方面多次談及了數(shù)量關(guān)系，其中在數(shù)感的論述中指出：“建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。”可見新課程并沒(méi)有舍棄數(shù)量關(guān)系的教學(xué)。為此，筆者也對(duì)數(shù)量關(guān)系教學(xué)的實(shí)效性進(jìn)行了一些辯證性思考。

1.把握教材體系，適時(shí)滲透數(shù)量關(guān)系

蘇教版課程標(biāo)準(zhǔn)教材編寫刪去了“應(yīng)用題”教學(xué)單元，淡化了類型，倡導(dǎo)計(jì)算與運(yùn)用不分家，將“數(shù)與運(yùn)算”融入具體的生活情境中，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，理解運(yùn)算意義，把握最基本的數(shù)量關(guān)系。比如，在低年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生逐一理解加、減、乘、除運(yùn)算的意義和算法較容易，思維沒(méi)有障礙。當(dāng)出現(xiàn)相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題需要解決時(shí)，學(xué)生在具體單元中也沒(méi)有問(wèn)題。但作為教師不能僅此而已，而是要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生去感受、去提煉一些簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系，明白“部分量+部分量=總量”、“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”、“大數(shù)-小數(shù)=相差數(shù)”、“大數(shù)÷小數(shù)=倍數(shù)”等基本的數(shù)量關(guān)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)較復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題做好鋪墊。其實(shí)，這里教師要做的并不復(fù)雜，在學(xué)生解完一道題，經(jīng)歷了從具體情境抽象出運(yùn)算意義的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，初步感受數(shù)量關(guān)系的有用。教師的這種有意滲透，對(duì)學(xué)生數(shù)量關(guān)系的建立，解決問(wèn)題意識(shí)的培養(yǎng)是一種很好的積累。當(dāng)整數(shù)問(wèn)題拓展到后續(xù)的小數(shù)、分?jǐn)?shù)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生就不會(huì)再出現(xiàn)類似上述的錯(cuò)誤。

當(dāng)然，對(duì)數(shù)量關(guān)系的滲透及四則運(yùn)算意義的理解，不能僅停留在獨(dú)立的單元教學(xué)內(nèi)，還應(yīng)放在各個(gè)單元及知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)之中。這就需要教師能整體把握課標(biāo)教材散點(diǎn)編排的特征，學(xué)會(huì)科學(xué)地串珠成鏈，適時(shí)巧妙地滲透數(shù)量關(guān)系，方能提高學(xué)生利用數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題的能力。

2.借助問(wèn)題情境，理解數(shù)量關(guān)系形成

實(shí)踐研究表明，在富有現(xiàn)實(shí)意義的情境下，學(xué)生解決問(wèn)題才會(huì)把問(wèn)題與類型相對(duì)應(yīng)，將情境中的問(wèn)題與運(yùn)算意義相聯(lián)系。因此，教師必須將數(shù)量關(guān)系的形成過(guò)程與運(yùn)用過(guò)程有機(jī)結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境到抽象數(shù)量關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程。

比如，四年級(jí)下冊(cè)《解決問(wèn)題的策略》單元，新課伊始出示這樣一個(gè)問(wèn)題情境：王超和李明同時(shí)從兩地沿一條公路相對(duì)走來(lái)。王超每分鐘走68米，李明每分鐘走65米，經(jīng)過(guò)6分鐘兩人相遇。兩地相距多少米？學(xué)生在經(jīng)過(guò)真人模擬演示、畫線段圖或列表的基礎(chǔ)上，嘗試著用自己的語(yǔ)言表述數(shù)量關(guān)系：兩地相距的米數(shù)應(yīng)該用王超6分鐘所走的米數(shù)加上李明6分鐘所走的米數(shù)，所以應(yīng)該先算每人6分鐘所走的米數(shù)。在教師的進(jìn)一步啟發(fā)下，學(xué)生轉(zhuǎn)換思考角度，發(fā)現(xiàn)還可以先求出兩人1分鐘共走的米數(shù)，再算兩地相距的總米數(shù)。由此，引導(dǎo)概括出了新的數(shù)量關(guān)系“速度和×相遇時(shí)間=總路程”。兩種數(shù)量關(guān)系從不同角度反映出數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián)系。這種讓學(xué)生在具體的問(wèn)題情境中，經(jīng)歷多種角度思考問(wèn)題，理解數(shù)量關(guān)系的形成，能達(dá)到發(fā)展思維，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的靈活性與敏捷性的目的。

3.放手探索體驗(yàn)，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系模型

數(shù)量關(guān)系是生活原型升華為數(shù)學(xué)意義的路徑，是小學(xué)階段最為重要的數(shù)學(xué)模型之一。課標(biāo)教材倡導(dǎo)讓學(xué)生自主經(jīng)歷，從實(shí)際問(wèn)題中探索隱含的數(shù)量關(guān)系模型，然后借以解決問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)化的過(guò)程，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值。

比如，二年級(jí)下冊(cè)《乘法》單元有一道習(xí)題：一個(gè)機(jī)器人32元，一輛玩具汽車21元，一個(gè)布娃娃13元，一只玩具狗23元（圖片出示）。（1）買3個(gè)機(jī)器人要多少元？（2）買2只玩具狗要多少元？（3）老師帶了80元錢，夠買4輛玩具汽車嗎？以上問(wèn)題，教師大膽放手讓學(xué)生逐一解答。通過(guò)比較，學(xué)生找到三個(gè)算式的共性，并歸納得出“每個(gè)物品的價(jià)格×購(gòu)買的數(shù)量=總錢數(shù)”。教師指出每個(gè)物品的價(jià)格可稱為單價(jià)，總錢數(shù)稱為總價(jià)，從而構(gòu)建出“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”的模型。然后讓學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際，編一編具有這樣數(shù)量關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題。在學(xué)生的編題與解答中，學(xué)生很快又探索得出了“總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)，總價(jià)÷單價(jià)=數(shù)量”。學(xué)生體驗(yàn)到三個(gè)量中只要知道了其中兩個(gè)量，就能求出第三個(gè)量。

當(dāng)然，構(gòu)建模型是為了更好地理解分析數(shù)量關(guān)系，不能死記硬套，要變教師的灌輸為學(xué)生自主探索、體驗(yàn)，要把人為模式化的訓(xùn)練變?yōu)橛袡C(jī)的滲透。

4.注重變式對(duì)比，感悟數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化

傳統(tǒng)數(shù)量關(guān)系的教學(xué)留給學(xué)生的往往是“認(rèn)識(shí)類型——識(shí)別類型——套用方法”，忽略了對(duì)數(shù)量關(guān)系本質(zhì)的分析，較多地關(guān)注于問(wèn)題表述中字詞的特征，造成學(xué)生對(duì)題意的理解停留在表面，形成解題錯(cuò)誤。為此教師要注重各種數(shù)量關(guān)系的變式對(duì)比，讓學(xué)生感悟數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化。

比如，五年級(jí)上冊(cè)《多邊形面積的計(jì)算》單元，練習(xí)時(shí)設(shè)計(jì)了兩個(gè)題目：（1）一個(gè)等腰三角形廣告牌，底15米，高8米。油這塊廣告牌每平方米需要油漆1.5千克，一共需要油漆多少千克？（2）一個(gè)等腰三角形廣告牌，底15米，高8米。油這塊廣告牌1千克油漆可以漆1.5平方米，一共需要油漆多少千克？實(shí)踐證明，練習(xí)中如果只單獨(dú)出現(xiàn)第（2）題，很多學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系分析不清都做成了第（1）題的答案。然而以題組的形式出現(xiàn)兩題，學(xué)生在對(duì)比中自然會(huì)感悟到“每平方米需要的油漆數(shù)×總的平方米數(shù)=一共需要油漆數(shù)”、“總的平方米數(shù)÷每千克油漆漆的平方米數(shù)=一共需要油漆數(shù)”，水到渠成地實(shí)現(xiàn)了數(shù)量關(guān)系的過(guò)渡與轉(zhuǎn)化，學(xué)會(huì)了利用數(shù)量關(guān)系舉一反三，而不是僅僅憑直覺(jué)，或知其然，而不知其所以然。

綜上所述，提高數(shù)量關(guān)系教學(xué)的實(shí)效性，不是為了統(tǒng)一數(shù)量關(guān)系外顯的表達(dá)形式，也不僅僅是為了解決實(shí)際問(wèn)題，而是發(fā)展學(xué)生內(nèi)在的數(shù)學(xué)思維。作為一線教師，我們更應(yīng)將新課程的理念轉(zhuǎn)化為實(shí)際教學(xué)，將教材的變化展現(xiàn)在自己創(chuàng)造性的教學(xué)中，讓學(xué)生在豐富的教學(xué)活動(dòng)中理解、感悟、運(yùn)用數(shù)量關(guān)系。