設計數學開放題 啟學生思維之門

沈曉萍

引進開放性教學思想，設計數學開放題，對課程改革和落實素質教育具有重大的意義。因為設計開放題有利于培養學生的應用意識和能力，有利于促進學生的數學交流，有利于給學生提供廣闊的思維空間，能為學生的主動發展創造條件，從而引導學生進行創造性的學習。

一、設計開放題的意義

數學開放題是相對于條件完備、結論確定的傳統封閉題而言的，是指那些條件不完備、結論不確定的且給學生形成較大認知空隙的問題。從理論的角度分析，開放題本身還沒有一個標準的定義。對于開放題，目前大家取得的共識主要有以下幾個方面：（1）問題的答案往往不確定或不唯一；（2）條件不完備或多余；（3）有多種解答方法或策略。這三個方面實質上是從問題的條件、解法、結論的多樣性來談開放性，在一定程度上反映了開放題的內涵。它能沖破傳統應用題中封閉性的限制，具有探索性、開放性、靈活性、多變性等特點，可以給學生的思維創設更廣泛的空間，有助于激發學生的創新意識，養成創新習慣，發展思維的創造性，提高學生分析問題、解決問題的能力。

二、開放題教學的設計

教師設計的開放題，要適合學生的認知規律和學習水平及實際生活，切不可在難、偏、怪、繁上做文章，應該讓學生不需要深功底、高技巧、繁計算就能進行開放題的學習，使各層次的學生都能在練習開放題的基礎上獲得發展。

1.條件開放，培養學生思維的選擇性

學生在解決條件開放的問題時，需要認真觀察、思考題意，尋求適當且合理的條件，如多余的要舍去、不足的要補充、隱藏的要挖掘等，促使學生做出正確的選擇和判斷。這樣既能培養學生發現信息、處理信息的能力，讓學生由消極等待發展為主動探求，又能使學生克服以前消極的思維定式，提高自主探索的能力和思維的選擇性。條件開放題有少用條件、多余條件、比常規少條件、缺條件（補條件）、圖文條件等類型，所以教師要先引導學生在審題時提取必要的條件，不用或少用一些條件，再創造性地運用條件解決問題。例如：“少年宮奧數組有24人，書法組比奧數組少6人，器樂組的人數是書法組的3倍，書法組和奧數組一共有多少人？”通過分析可知，“器樂組的人數是書法組的3倍”這一條件多余，不需要采用。又如：“一塊長方形廣告牌長2米，重新設計時從它的一端剪去一個最大的正方形，剩下的廣告牌四周要裝上裝飾條，該買裝飾條多少米？”題目中只有一個數據，表面上看條件不足，而作直觀圖后就容易解答了，這樣可以培養學生思維的靈活性和創造性。

2.問題開放，培養學生思維的發散性

學生學習上的差異，使他們在利用已有信息分析題意時，能發現并提出多種多樣的問題。而設計問題開放的習題，有助于貫徹因材施教的原則，充分發揮學生的個性特長，做到面向全體學生，使每個學生都得到發展。問題開放題，在解決形式上有解答式問題、問答式問題、圖表式問題等；在答案方面，有唯一答案、多種答案、“不存在”答案等類型。例如：“小明在做作業時，不慎將墨水瓶打翻，使一道作業題只看到如下字樣：‘甲、乙兩地相距400千米，摩托車每小時行45千米，汽車每小時行35千米， （ ）？（括號內表示被墨水覆蓋的部分）請你把這道題目補充完整再解答。”這樣，一方面給學生提供獲得成功的機會，促使不同程度的學生都得到提高和發展；另一方面為學生提供了發散思維的空間，培養學生思維的發散性和深刻性。

3.策略開放，促進學生思維的靈活性

策略開放題，一般給出條件、問題，由條件求問題，或根據條件判定結論是否成立，其策略是多種多樣的。解題時，學生要運用已有的知識和經驗，從不同角度探索多種解題策略，并比較優化得出最佳的解題策略，這樣既能培養學生的自主探索能力，又能培養學生思維的靈活性。而且，由于每個學生原有經驗、思維習慣、認知風格的差異，所以必然會在解決問題過程中表現出一定的策略差異。例如：“有兩根同樣長度的繩子，第一根用去3/10，第二根用去3/10米，哪一根繩子用去的多？”這類題目所給的條件不唯一，在解答過程中，學生有的借助畫圖解題，有的則結合自己的生活經驗幫助理解，還有的直接利用實物進行模擬……教師應尊重學生的這種差異，組織學生討論、利用各種策略分析用去長度的幾種情況：（1）當繩子的長度是1米時，第一根繩子的3/10等于3/10米，兩根繩子用去一樣長；（2）當繩子長度大于1米時，第一根繩子的3/10大于3/10米，第一根繩子用去的多；（3）當繩子長度大于3/10米而小于1米時，第一根繩子的3/10小于3/10米，第二根繩子用去的多；（4）當繩子長度小于3/10米時，該題不成立。這樣的問題往往可以用不同的策略來解答，通過這類題型的訓練，使學生能在今后的問題解決過程中自覺形成策略開放的意識，提高解決問題的能力。

4.綜合性開放，培養學生思維的創新性

數學源于生活，用于生活，高于生活。因此，習題設計也應具有綜合性，可以集其他學科相關知識于題中，也可以集本學科相關知識于題中。因此，綜合性開放題是前三種開放題的綜合，一般只給出一定的情境，其條件、解題策略和結論都要自行尋找與設計。這樣就給學生提供了更廣闊的探索空間，利于培養學生思維的深刻性。例如，學習平面圖形的知識后，可設計這樣一題讓學生探究：“把校園內一塊長100米、寬80米的長方形空地設計成一個花園，其中要有圓形、方形、菱形等面積不等的花地、草坪。要求：（1）花地、草坪、道路所占面積比例適中；（2）圖案美觀。”這樣的習題練習，既達到訓練的目的，又培養了學生的數學素養。

因此，教師應從學生的學習生活和熟悉的事物中收集素材，設計各種形式的數學開放題，意在拓寬學生的思路，培養學生潛在的學習能力。開放題給不同層次的學生學好數學創造了機會，且多種解題策略的應用，既能有效地發展學生的創新思維，培養學生的創新技能，又能提高學生的創新能力。

三、“開放”之余話“收斂”

開放題的教學，可以培養學生的發散性思維，促進學生創新能力的提高。但任何事物都是辯證統一的，知識結構的發展是一個“收斂——發散——收斂”的過程，如果一味地追求開放、發散，而忽視了開放題中規律性、方法性的認識，反而降低了開放題的思維價值。同樣，在數學課堂教學中，適當增加一些開放題是十分必要的，也是切實可行的，因為通過練習開放題，能讓學生體驗到數學問題的多樣性和復雜性。例如，在一節數學活動課上，教師出示這樣一道題：“用一張正方形的紙折一下，折出它的1/2，并畫上斜線。”學生折好后，教師把不同的折法展示在黑板上，并問：“還有其他方法嗎？”一學生說：“還有無數種折法。”教師隨即表揚道：“說得很好，真會動腦筋。”然后這一題的教學到此結束，顯然，教師沒能抓住這個良好的教學契機，生成課堂的精彩。當學生回答“有無數折法”時，教師可以追問：“這無數種折法，有什么共同點嗎？”（折線都是通過正方形的中心）這就讓學生認識到了答案的統一性。因此，開放題的教學也要在開放之后進行收斂，只有在發散和收斂之間的矛盾運動中，展示數學方法和規律被揭示、被發現的過程，才能促進學生學習知識，實現發展創造性思維的目的。

總之，研究開放題教學，要研究開放題本身，也要研究學生，更需要反思教師自身的教學行為，提升教師自身的教育理念。只有這樣，才能提高課堂教學的質量，達到培養學生創新能力的目的。