小學數學以線段圖建模的類型與特征研究

李媛媛

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）08-0137-03

“解決問題”歷來是教育研究的重點，但對“解決問題”進行綜合性建模的研究卻很缺乏，尤其是突破類型限制，以圖式的模式化方式反映量之間的本質關系的研究。本文對小學數學問題中常用的線段圖進行歸納與研究，旨在突破具體問題、具體情境的限制，抓住線段圖反映數量關系的本質特征，為小學數學教學研究提供一個研究思路。

解決問題在小學教學中占有重要地位，它是培養學生運用數學知識解決實際問題能力的重要途徑，也是提高學生邏輯思維能力的重要手段。因此“解決問題”始終是小學數學教學中的重點問題。但與此同時由于解決問題教學涉及的知識面廣，分析推理過程較復雜，學生學習起來比較困難，因此它又是教學的難點問題。

一、解決問題“難”的主要原因分析

解決問題中往往涉及一些與生活實踐相聯系的應用問題。解決這類問題時，首先需要把生活問題數學化，尋找問題中包含的數學關系，并用嚴謹的數學語言進行表達，再用數學方法求得結果，最后還要還原到最初的生活問題之中。在這個過程中，既需要有從實際問題中提取數學內容的抽象能力，也需要具有能夠用數學語言表達實際問題的語言能力，而這兩點對于小學生而言，都是正處于發展初期的薄弱點，因此“解決問題是小學生學習的難點問題”在小學是一個客觀存在。

例如，數學語言具有抽象性，這決定了學生必須能對解決問題中抽象的數學術語和符號進行形象感知，在這個過程中，需要對它們之間的邏輯關系進行分析，形成自我建構，這導致數學解題思考強度大。 以下面的集合圖來說明：

上圖表示的是“非0自然數按約數的個數可分為質數、合數和 1 三類”這一概念，學生如果不認識這種特殊表現形式而去觀察、比較質數和合數哪一類所占面積更大；或把集合圖割裂開，孤立地認為質數在左面，合數在右面；或是干脆當成一幅圖片來記憶，就會在理解上偏離語義的本質。

又比如，一個本1元錢，小明買了5個本花了多少元錢？

這道題對很多學生來說很簡單，可以直觀求解，但是，若讓他們根據“單價×數量=總價”來計算出5元，這對他們而言反而具有相當的難度。

原因就在于小學生正處于具體運算階段。這一階段的學生思維正處于具體、形象思維為主并逐漸向抽象邏輯思維的過渡期。他們的理解能力有限，從實際問題中抽象出數學關系有一定難度。

在這種現實存在下，如何采取一種小學生可以理解的方法突破難點呢？

考慮到小學生重直觀的特點，本文從直觀圖示的方法入手試圖建立以圖示為主的數學模型，以幫助小學生突破難點、走出困境。

二、線段圖建模類型研究

通過研究小學數學中出現的線段圖的各種可能情形和分析小學數學中各種解決問題的題目，發現解決問題的相關題目基本上可以劃歸為與交集有關的線段圖、與并集有關的線段圖和復合型線段圖三種類型，這樣就可以將三類線段圖作為解決問題的數學模型，借助線段圖的直觀性，發現問題中的數量關系，減少思維難度，促使問題得到迅速解決。

（一）線段圖的分類及其特征分析

如果將線段圖看作是一個集合，那么數學問題中的各種數量關系就反映為集合之間的關系，綜合考慮小學數學中的應用問題，可以發現其中主要涉及的數量關系可以通過交集型線段圖、并集型線段圖和復合型線段圖表現出來。

1.交集型線段圖

交集型線段圖的主要特征為數量關系之間有重疊部分，如下圖所示：

圖中集合間關系：B∪C-A=U，B∩C=A

本類型線段圖適合解決重疊類問題，如：一個班有學生42人，參加體育代表隊的有30人，參加文藝代表隊的有25人，并且每個人都至少參加了一個隊，這個班兩隊都參加的有幾個人？

這個問題的特點是要求重疊部分：這個班兩隊都參加的有幾個人？全班人數42人就是整體，看作全集U，參加體育代表隊的30人和參加文藝代表隊的25人是部分，分別看作集合B和C，則A就是所求，它們之間的關系圖示為：

這個圖示與原來教學中習慣采用的文氏圖表示方法本質相同（如下圖）。

2.并集型線段圖

并集型線段圖的主要特征為數量關系之間沒有重疊部分，并且幾個部分合并之后恰好就是整體。如下圖所示：

圖中集合間關系：A∪B=U， A∩B=￠或A∪U=U，A∩U=A

這一類型的線段圖適合解決整體和部分之間關系互求類型的問題，如已知整體求其中的某一部分，或者已知各部分，求總共有多少等等。

如：在暑假中，王曉偉抄寫了85個成語，還差56個才完成老師的要求，老師要求抄寫多少個成語？

這個問題中老師要求抄的成語數就是整體，它與已知之間的數量關系可以用線段圖表示為：

圖中數量關系清晰明確，顯然便于問題的解決。

3.復合型線段圖

復合型線段圖的主要特征為綜合包含了交集型與并集型線段圖的特征，數量關系表現的較為復雜，需要通過多層次體現。

如下圖所示：

圖中集合間關系：E∪B=A，E∪D=C，A∪E∪C=U，A∩C∩E=E

這種圖示下的問題，一般涉及兩步以上的應用題，需要分步摸清數量關系后解決問題。

如：小濤有56本書，小玉借走■，剩下的書小紅借走■，再剩下的書小明借走■，現在小濤還剩多少本書？

題目中56本書是全集，三個人分別從不同總數中借走其中的一部分，是造成問題解答困難的關鍵，現在把它們之間的關系用線段圖表示如下：

顯然要想求最后剩余的，就必須分步求出每次剩余書的本數。

（二）線段圖模型應用舉例分析——以“并集型線段圖”為例

并集型線段圖主要反映部分與整體的數量關系，并且部分與部分之間沒有重疊關系。如下舉例說明。

例1 一列火車4小時行駛了480千米，平均每小時行駛多少千米？

分析：題目中的總數為480千米，按照題意需要平均分為4份，這四份不能有重疊部分，因此本題可以利用“并集型線段圖”。作圖如下：

從圖中可以看出把總數480千米，平均分成4份，每份就是1小時行駛的路程，用除法計算出480÷4=120（千米）即可。

例2 兩個數相除商5余11，已知被除數、除數、商與余數的和是237，問被除數是多少？

分析：根據被除數÷除數=5……11可知，商是5，余數是11。要求的被除數=除數×5+11，也就是說被除數比除數的5倍多11，這就是說，除數的5倍以及多出來的11都是被除數中的一部分，并且沒有重疊，因此本題仍然可用“并集型線段圖”表示為：

由已知條件首先可以算出被除數與除數的和是237-5-11=221，再從圖中可以看出除數是一倍數。被除數如果減去11，就正好是除數的5倍，也就是221-11對應的是5+1=6倍，1倍就是（221-11）÷（5+1）=35，即除數。

例3 修路隊修一條路，第一天修了全程的■，第二天修了360米，完成全部修路任務。修路隊第一天修了多少米？

分析：修路隊第一天修全程的■和第二天修360米構成全部修路任務，并且兩者沒有重疊部分，因此本題仍然可用“并集型線段圖”表示為：

從圖中可以看出360米相當于總任務的■，則總任務是360÷■=900（米）。進而可知，第一天修了900-360=540（米）。

如上三題告訴我們，“并集型線段圖”可以作為一個數學模型，不僅可以解決行程問題，還可以解決工作量等問題，如果把握它的本質特征，那么它就可以運用到更廣的范圍之中。

三、建立線段圖模型的意義

（一）運用線段圖可以使已知條件直觀呈現

線段圖能比較形象直觀地揭示應用題中的條件與條件、條件與問題之間的關系，把數轉化為形，明確顯示已知與未知的內在聯系，使隱蔽的數量關系變得明朗化，容易發現隱含的條件，激活學生的解題思路，是分析和解決“解決問題”的有效途徑。

例如：小剛和妹妹二人同時從家去學校，小剛每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。小剛到學校門口時發現忘記帶作業，立即由原路回家去取，行至離學校180 米處和妹妹相遇。他們家離學校多遠？

運用畫線段圖的方法可以發現本題隱含的條件有三個（如圖示）：

第一個是小剛和妹妹兩人一共走了兩個全程，即：

第二個是小剛共比妹妹多行了兩個 180 米，即：

第三個是同樣多的時間內小剛比妹妹多走了兩個180米。

（二）運用線段圖可以使等量關系顯性呈現

利用線段圖將問題中蘊含的抽象的數量關系以形象直觀的方式表達出來，能夠使已知條件和所求問題聯系起來，便于揭示它們之間的等量關系，通過形象直觀的等量關系，便于列出符合題意的算式，有效促進問題的解決。

（三）線段圖可以開闊學生思維，幫助學生一題多解

工地有一堆黃沙，用去了總數的■后，又運來480噸，這時的黃沙相當于原來的80%，原來有黃沙多少噸？

分析： 解答此題的關鍵是求出480噸相當于原來黃沙的幾（百）分之幾？

根據題意畫線段圖如下：（為了敘述方便，圖上的端點和分點分別用A、B、C、D表示）

該圖中，線段AB表示原有黃沙，BC表示用了的黃沙，CD表示運來的黃沙。

解法1：

從線段圖的左邊看，CD=AD-AC，由此可以得到： 480噸相當于原有黃沙的80%-（1-■）

所以可以列式為： 480÷[80%-（1-■）]=1200（噸）

解法2：

從線段圖的中間看，CD=AB-AC-BD，由此可以得到： 480噸相當于原有黃沙的[1-（1-■） -（1-80%）]，所以可列式為： 480÷[1- （1-■ ） -（1-80%）]=1200（噸）

解法3：

從線段圖的右邊看，CD=BC-BD，由此可以得到： 480噸相當于原有黃沙的[■-（1-80%）]，所以可以列式480÷[■-（1-80%）]= 1200（噸）

解法4：

從線段圖的兩邊看，CD=AD+BC-AB，由此可以得到： 480噸相當于原有黃沙的（80%+■-1），所以可以列式為： 480÷（80%+■-1） =1200（噸）

答： 原來有黃沙1200噸。

一題多解可以培養學生思維的深刻性、靈活性，有助于開拓學生的視野，克服墨守陳規的弊端，使學生敢于標新立異，從而有助于學生學會創新。

顯然，歸類運用線段圖就是指將三類不同的線段圖作為三種數學模型，在解決問題中，不必考慮問題的具體情境及范疇，只需關注問題中所反映的數量間的本質關系，這樣可以將學生從植樹問題、年齡問題、差倍問題、行程問題等諸多具體情境問題中解放出來，透過現象看本質，既反映了數學的模式化特征，又教會學生解決問題時綜合思考的思想方法。

四、結論

借助線段圖解題，可以化抽象的語言到具體、形象、直觀的圖形；可以化難為易，促使判斷準確；可以化繁為簡，發展學生思維；可以化知識為能力。使用線段圖便于抽象建模，反映數學的模式化特征。實踐證明，線段圖具有直觀性、形象性和實用性，如果學生從小掌握了用線段圖輔助解題的方法，分析問題和解決問題的能力將會大大的提高。

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