高中數學復習課模式的探究

劉文杰

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）08-0139-02

一、教學內容分析

本節課是高三理科數學二輪專題復習課——函數與導數的應用。根據高考的熱點問題我將《函數與導數的應用》劃分為兩節課。這是第一節課，主要探究兩個問題：①任意性與存在性問題；②分類討論思想的應用。 函數與導數不僅在高考中占有重要的地位，而且在生活及生產實際中有著廣泛的應用，應重點研究。

二、學生學習情況分析

這節課是在學生經過了一輪復習，基本掌握了函數與導數的基礎上進行研究的，是學生對函數與導數的綜合應用的提高。任意性與存在性問題和分類討論思想對學生而言，既是重點又是難點。

三、設計思想

如何突破這節課的兩個重點問題，成為本節課的學習目標。我通過設計的導學案和具有一定思考價值的問題，來激發學生的求知欲望和持久的好奇心。

在教學中我努力做到以下兩點：

1.在課堂活動中通過互助合作、自主探究，培養學生積極主動、勇于探索的學習興趣。

2.在教學過程中努力做到生生對話、師生對話，且在對話之后重視總結、反思，力圖在培養和發展學生數學素養的同時讓學生掌握研究數學的思想方法。

四、教學目標

1.理解并掌握任意性與存在性問題的解決方法；

2.會用分類討論思想解決問題；

3.讓學生在數學活動中感受數學思想方法之美，同時通過本節課的學習，培養學生主動學習、合作交流的意識。

五、教學重點與難點

1.任意性與存在性問題的理解；

2.分類討論思想的應用。

六、教學教具

多媒體幻燈片 PPT課件 導學案 實物投影儀

七、教學過程

（一）創設情景，提出問題

已知函數f（x）=x3+x，對任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）<0恒成立，則x的取值范圍為____。

教師：（采用多媒體PPT課件展示問題），請同學們以小組為單位展開討論。

學生：小組合作討論，解決問題。

【學情預設：學生可能自行解決不了，教師用多媒體PPT課件展示詳解。】

【設計意圖：用一個實例提出問題，為引出任意性與存在性問題做準備；同時激發學生學習新知的興趣。】

教師：用多媒體PPT課件展示正確解答過程。

（二）師生互動、探究新知（題型分類、深度剖析）

題型一 任意性與存在性問題的考查

【例1】已知函數f（x）=8x2+16x-k， g（x）=2x3+5x2+4x， k為實數。

（1）對任意x∈[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（2）對存在x∈[-3，3]，使f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（3）對任意x1，x2∈[-3，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范圍；

（4）對任意x1∈[-3，3]，x2∈[-3，3]，使f（x1）≥g（x2）， 求k的取值范圍。

教師：下面請同學們看導學案上的例1。

學生：分組活動，合作學習。

閱讀例1，回答以下問題（在幻燈片上展示出來）：

1.兩個量詞“任意”與“存在”對解題有什么影響？

2.例1的四個問題在解法上有什么聯系與區別？

教師：根據學生的討論，讓四個學習小組分別展示探究學習的成果。

學生：兩個學習小組派代表到黑板上板書展示（1）、（2）小題成果，另兩個學習小組派代表通過實物投影儀展示（3）、（4）小題成果，便于學生交流。

教師：再嘗試讓學生小組合作探究學習，抽象出數學模型，點評小結。

（在這里要注意生生之間、師生之間的對話。）

學生：各學習小組推選學生代表舉手發言抽象數學模型，發表自己的觀點并用實物投影儀展示成果。

師生：師生共同評價探究成果，形成一般數學模型。

【設計意圖：通過學生小組合作探究，讓學生從具體問題中抽象出數學模型。讓學生在討論中自己解決問題，使該難點的突破顯得自然，達到提高課堂效率的目的，也由此激發學生的學習興趣。】

【學情預設： ①若學生從合作探究學習中總結出規律和數學模型，教師大力表揚就行。②若學生給出的模型不具體，規律不明確，教師應利用多媒體PPT課件展示四個小題的結論進行比對，教師引導學生小組合作探究、總結出模型。】

教師：用多媒體PPT課件展示例1的一般數學模型，讓學生寫到導學案上。

【探究提高】（數學模型）

1.含有“任意性或存在性”的函數的最值之間的大小關系

（1）①？坌x∈[a，b]，g（x）≥m？圳g（x）min≥m.

②？坌x∈[a，b]，g（x）≤m？圳g（x）max≤m.

（2）①？堝x0∈[a，b]，g（x0）≥m？圳g（x）max≥m..

②？坌x0∈[a，b]，g（x0）≤m？圳g（x）max≤m.

2.含有“任意性或存在性”的兩個函數的最值之間的大小關系

（1）①？坌x1∈[a，b]，？坌x2∈[c，d]，有f（x1）≤g（x2）？圳f（x1）max≤g（x2）min.

②？坌x1∈[a，b]，？坌x2∈[c，d]，有f（x1）≥g（x2）？圳f（x1）min≥g（x2）max.

（2）①？坌x1∈[a，b]，？堝x2∈[c，d]，有f（x1）≤g（x2）？圳f（x1）max≤g（x2）max.

②？坌x1∈[a，b]，？堝x2∈[c，d]，有f（x1）≥g（x2）？圳f（x1）min≥g（x2）min.

（3）①？堝x1∈[a，b]，？堝x2∈[c，d]，有f（x1）≤g（x2）？圳f（x1）min≤g（x2）max.

②？堝x1∈[a，b]，？堝x2∈[c，d]，有f（x1）≥g（x2）？圳f（x1）max≥g（x2）min.

（4）①？堝x1∈[a，b]，？堝x2∈[c，d]，f（x1）=g（x2）？圳f（x）的值域和g（x）的值域交集不為空集

②？坌x1∈[a，b]，？堝x2∈[c，d]，f（x1）=g（x2）？圳f（x）的值域是g（x）的值域的子集

教師：給同學們編了一個順口溜便于記憶，多媒體PPT課件展示，要求學生朗讀。

學生：（全體同學齊聲朗讀）

任意存在相對立，最大最小反著用；不等方向莫改變，千變萬化我不怕。

【設計意圖：通過對例1的引申，形成規律，抽象出數學模型，便于學生記憶，達到思維升華的目的。借助順口溜，也掀起一個學習的高潮，激發學生的學習興趣，使學生樂學愛學。】

題型二 分類討論思想的考查

【例2】已知函數f（x）=x2e-ax （a>0），求函數在[1，2]上的最大值。

教師：讓同學們閱讀并思考例2。

師生：共同分析解題思路。解題導引：求函數在閉區間上的最值，首先應判斷函數在閉區間上的單調性，一般方法是令f′（x）=0，求出x值后，再判斷函數在各區間上的單調性，在這里一般要用到分類討論的思想，討論的標準通常是極值點與區間端點的大小關系，確定單調性。

【設計意圖：讓學生回憶起這類題的解題思路，便于解答時有明確的目標。】

教師：讓學生到黑板上板書，其他同學在導學案上做。

師生：針對學生的板書，師生共同評價，利用多媒體PPT課件展示規范解題過程。

解：∵f（x）=x2e-ax （a>0），∴f′（x）=2xe-ax+x2·（-a）e-ax=e-ax（-ax2+2x）

令f′（x）=0，即e-ax（-ax2+2x）=0，得x=0或x=■

①當0<■<1，即a>2時，f（x）在[1，2]上是減函數，∴f（x）max=f（1）=e-a

②當1≤■≤2，即1≤a≤2時，f（x）在[1，■）上是增函數，在（■，2]上是減函數，

∴f（x）max=f（■）=4a-2e-2

③當■>2，即0

綜上所述，當0

當1≤a≤2時，f（x）的最大值為4a-2e-2；當a>2時，f（x）的最大值為e-a。

學生：根據教師的講解，學生糾錯整理到導學案上。

【設計意圖：①教師可通過學生板書，訓練其對數學問題的分析和表達能力；②教師板書展示解題步驟，強調解題的規范性； ③教師可檢驗學生的落實情況。】

【學情預設：考慮到學生各組的水平有所不同，教師應巡視，做適當的指導。】

教師：讓學生討論曾經學過的數學思想以及分類討論的標準，有哪些？

學生：各學習小組推選學生代表，展示討論的成果。

師生：共同評價小組討論的成果，然后教師用多媒體幻燈片展示成果，學生記錄。

【探究提高】（成果總結）

（1）解題中要注意數學思想方法的應用

轉化與化歸思想、 數形結合思想、分類討論思想等。

（2）常見分類討論的標準

①二次項系數的正負 ②方程是否有根 ③根的大小 ④點是否在定義域內

【設計意圖：學生通過例2的合作探究并結合教師的點撥歸納，讓學生回憶起在函數與導數中常見的分類討論的角度，進行歸納引申，達到思維升華的目的，從而解決第2個學習重點：分類討論思想的應用。】

【變式訓練】已知函數f（x）=■x2-ax+（a-1）ln x，a>1.討論函數f（x）的單調性。

【設計意圖：當堂檢測學生對知識與分類討論思想的掌握情況，便于落實。】

（三）課堂小結（思想方法與感悟提高）

先由學生總結，板書到黑板上，然后教師總結補充（由多媒體PPT課件展示），最后由學生填寫到導學案上。

【設計意圖：通過本節課的學習，讓學生重新梳理、回顧所學的知識與技能、數學思想與方法，使學生學在情境中，思在情理中，感悟在內心中。】

（四）課后作業（分層訓練）

A組：1.已知f（x）=x2，g（x）=（■）x-m，若對？坌x1∈[-1，3]，？堝x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2），則實數m的取值范圍是____。

2.已知函數f（x）=ax+x2-xlna（a>0，a≠1），

（1）當時a>1，求證：函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

（2）若函數y=|f（x）-t|-1有三個零點，求t的值；

（3）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1，試求的取值范圍。

B組：1.已知函數f（x）=x2-（2a+1）x+alnx

當a =1時，求函數f（x）的單調增區間；求函數f（x）區間[1，e]上的最小值。

設g（x）=（1-a）x，若存在x0∈[■，e]，使得f（x0）≥g（x0）成立，求實數a的取值范圍。

【設計意圖：題目要精選，不要太多。A組要求所有學生完成；B組只要求學有余力的同學完成，體現了差異發展教學，鞏固本節課所學內容。】

八、教學反思

1.本節課教學是以學生為主體，教師為主導，小組合作探究學習，既為學生提供展示才華的舞臺，嘗試成功感；又讓學生親歷知識掌握的構建過程，順利掌握重點，突破難點。讓教師可以真正做到“授之以漁”，而非“授之以魚”。

2.在教學過程中不斷向學生滲透數學思想方法，讓學生在活動中感受數學思想方法之美，學生還能自覺運用這些數學思想方法去分析、思考問題，使學生學在情境中，思在情理中，感悟在內心中，提高學生的數學素養。