一題多解，激發(fā)學(xué)生思維

張林

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）08-0152-02

高三復(fù)習(xí)課中的“講評課”若注重“一題多解”，既可以讓學(xué)生了解各知識模塊之間的聯(lián)系，又可以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新性思維、發(fā)散性思維的能力，從而達(dá)到數(shù)學(xué)要教會學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的目的。下面以一道圓錐曲線習(xí)題為例談?wù)劇?/p>

例題：如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|∶|A1F1|=2∶1。

（Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）若直線l1：x=m（|m|>1），P為l1上的動(dòng)點(diǎn)，使∠F1PF2最大的點(diǎn)P記為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用m表示）。

（Ⅰ）橢圓方程■+■=1（解法略）

（Ⅱ）解法1分析：容易想到余弦函數(shù)，在△PF1F2中利用余弦定理轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，但是余弦定理較復(fù)雜且要利用距離公式計(jì)算PF1、PF2，故此法計(jì)算量較大。

詳解：設(shè)P（m，y）（注以下文中的點(diǎn)P）由余弦定理得：

cos∠F1PF2=■=■

=■

又因?yàn)閨m|>1，所以所以cos∠F1PF2>0，所以

cos∠F1PF2=■

=■≥■

當(dāng)且僅當(dāng)y2=m2-1即y=±■取等號，由∠F1PF2∈（0，■）且y=cosx在（0，■）上單調(diào)遞減可知：當(dāng)y=±■時(shí)，cos∠F1PF2取最小值，∠F1PF2最大，所以滿足要求的點(diǎn)Q（m，±■）。

解法2分析： 觀察到圖形中有直角三角形，可以想到利用正切函數(shù)避免法1中的距離計(jì)算。

詳解：tan∠NPF2=■，tan∠NPF1=■

∴ tan∠F1PF2=tan（∠NPF2-∠NPF1）=■

=■=■

∵|m|>1∴m2-1∴tan∠F1PF2=■≤■當(dāng)且僅當(dāng)y=±■取等號

由y=tanx在（0，■）上遞增可知：當(dāng)y=±■時(shí)，∠F1PF2最大，所以滿足要求的點(diǎn)Q（m，±■）。

解法3：分析：如果利用正弦函數(shù)，可以使用等面積法構(gòu)造函數(shù)。

詳解：S■=■F1F2·|y|=■PF1·PF2sin∠F1PF2

∴y2=[（m-1）2+y2][（m+1）2+y2]sin2∠F1PF2

∴sin2∠F1PF2=■

=■≤2（m2-1）當(dāng)且僅當(dāng)y=±■取等號。

由當(dāng)y=tanx在（0，■）上遞增可知：當(dāng)y=±■時(shí)， ∠F1PF2最大，所以滿足要求的點(diǎn)Q（m，±■）。

解法4：分析：利用正弦函數(shù)，還可以用正弦定理，得到如下妙解！

詳解：由正弦定理：■=2R ∴sinF1PF=■

要使得∠F1PF2最大，必需使△F1PF的外接圓半徑最小，由圖可知，外接圓圓心，定在y軸上，設(shè)圓心為O，P到y(tǒng)軸的距離最短為m，故設(shè)圓心O（0，y）

由OP=OF1得m2=1+y2 ∴y=±■∴Q（m，±■）。

以上四種解法：解法2最常規(guī)，解法4最巧妙，運(yùn)算量最小。同時(shí)解題中運(yùn)用了三角函數(shù)、函數(shù)最值、正余弦函數(shù)、不等式等幾大模塊的知識點(diǎn)，在學(xué)生頭腦中有機(jī)地建構(gòu)起知識的網(wǎng)絡(luò)，更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，體現(xiàn)了高效課堂的要求。但同時(shí)要注意避免盲目追求一題多解，產(chǎn)生消弱最優(yōu)解、重點(diǎn)知識、化簡為繁等錯(cuò)誤，教學(xué)過程中，應(yīng)多啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生自己得出相關(guān)解法為優(yōu)！