分類思想在數學教學中的滲透

董志明

分類思想是一種很重要的數學思想，貫穿于整個初中數學結構體系中。分類討論的思想方法，就是對問題進行分類，逐一討論滿足條件的各類情況，達到問題的全面解決。它實質上就是按照數學對象的共同性和差異性，將其區分為不同種類的思想方法。其作用是克服思維的片面性，防止漏解。要做到成功分類，關鍵有兩點：一是要有分類意識，善于從問題情景中抓住分類的對象；二是要斟酌問題的實際情況，找出科學合理的分類標準，這個標準應當遵循互斥、無漏、最簡的原則。

數學思想的滲透是一個長期的緩慢的過程，最終是要讓學生掌握它，并會用它解決問題。本文就初一數學中的分類思想作介紹。

一、概念教學中的分類思想的滲透

初一數學中引進入一些新的概念，而這些概念大都同分類思想聯系在一起。

1.用分類的思想來定義某些概念。

有些概念本身就是分類思想的很好體現。例如：有理數的定義、整式的定義等。在有理數的概念理解上，一定要讓學生通過分類的思想理解“有理數a”可能是一個正有理數、一個負有理數或零，而不能理解為有理數a一定是一個正有理數。又例如：單項式和多項式統稱為整式。定義的本身就反映了整式可分為單項式和多項式，這既說明了研究整式就是研究單項式和多項式，又說明了整式同其他代數式（如分式、無理式等）的區別。

2.用分類的思想進一步挖掘概念的內涵。

對某些概念的理解，我們可以借助分類思想進行進一步探討。例如：絕對值的概念、相反數的概念、角的概念等。在絕對值的概念教學過程中，我們先讓學生理解一個數的絕對值就是這個數到原點的距離。例如3的絕對值就是在數軸上3這個點離開原點的距離，即3的絕對值等于3；-3的絕對值就是在數軸上-3這個點離開原點的距離，即-3的絕對值等于3；0的絕對值就是在數軸上0這個點離開原點的距離，即0的絕對值等于0。在此基礎上，利用分類思想對數的絕對值進行分類：正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值還是0。這樣，學生對絕對值這個概念就有了全面、深刻的理解。再例如：在教學角的概念的過程中，學生在理解了角是由有公共端點的兩條射線組成的圖形后，對小于平角的角進行分類，按照度數的大小可分為：鈍角、直角、銳角。理解了角分這三種情況，對后面理解三角形的分類起到了鋪墊作用。

在概念教學中，運用分類的思想，按照一定的標準進行科學分類，對學生正確地理解這些概念起到了促進作用，同時也為后續知識的學習打下了良好的基礎。

二、運用分類的思想整體感知知識

教材的編寫基本上是按單元、章節進行編排的。在學完一個單元或一個章節以后，可以用分類的思想方法對本單元或本章節的知識進行概括性復習，這樣既有利于學生更好地理解這些概念，又有利于學生掌握這些知識之間的區別和聯系。例如在學完有理數的第一單元后，可以按正數、負數和零分別對有關概念進行總結，分清這些概念之間的聯系與區別。

三、分類的思想在解題中的運用

1.分類的思想方法在代數中的應用

分類的思想方法在初中代數中的應用極其廣泛，如實數的分類、代數式的分類、方程的分類、函數的分類、統計數據的分類等，總之，整個初中代數可看做是一個分類討論系統，所以，分類的思想方法在代數方面的應用很廣。在做這類題目時，要有分類意識，仔細分析遇到的問題是否需要分類，如何分類，標準是什么，分類時要熟悉問題所涉及的基本概念、性質、定義、法則、公式、定理等，把原問題既不重復又不遺漏地分解成幾個較簡單的問題，化整為零，各個擊破，最終使原問題得以解決。

例1：（選擇題）已知|X|=3，|Y|=2，且XY<0，則X+Y的值等于（ ）

A.5或-5 B.1或-1 C.5或1 D.-5或-1

分析：由XY<0得X，Y異號，可以分兩種情況討論：

①當X>0且Y<0時，X=3，Y=-2

得X+Y=3-2=1

②當X<0且Y>0時，X=-3，Y=2

得X+Y=-3+2=-1

所以X+Y的值是1或-1，故應選B。

說明：這道選擇題，立意新穎，旨在通過分類思想方法考查基礎知識，即只要有分類意識，掌握分類的方法，就可以不重復不遺漏地得到正確結論。

說明：本題考查絕對值的意義。在去絕對值時要分類討論。

2.分類的思想在幾何中的應用

分類思想方法在幾何中的應用更廣泛，如角的分類、三角形的分類、四邊形的分類、兩直線的位置關系的分類、點和圓的位置關系的分類、直線和圓的位置關系的分類、兩圓的位置關系的分類等，特別是一些重要定理的證明，如圓周角定理、弦切角定理都充分體現了分類思想方法的應用。總之，平面幾何的知識結構中貫穿了分類的思想方法，所以在幾何題目中，常常出現考查分類思想方法的幾何題，這類題的解題思路是：對具有位置關系的幾何圖形，要有分類討論的意識，如圓周角的邊長已知，求角時應考慮圓心與圓周角的位置關系；圓內兩平行弦相對于圓心也應考慮其位置關系；兩圓相交公共弦與兩圓心的位置關系也應分類討論，等腰三角形的頂角情況要分三種可能加以研究；兩相似三角形的對應關系也有多種情況，等等?？傊谑煜缀螁栴}所需要的基礎知識的前提下，正確應用分類的思想方法，恰當地選擇分類標準是準確全面求解的根本保證。

例1：如圖1中，直線上共有A、B、C、D、E五個點，問直線上共有多少條線段？

解：可按點的順序考慮（即向一個方向），

以點A為一個端點的線段有4條，以B點為一個端點的線段有3條，以C點為一個端點的線段有2條，以D點為一個端點的線段有1條，所以圖中共有4+3+2+1=10條線段。

說明：按分類討論的方法來解數線段或數角的問題，可把對問題不重復、不遺漏地加以考慮，從而迅速正確地求解。

例2：已知線段AB=8cm，在直線AB上畫線段BC，使它等于3cm，求線段AC的長。

分析：因為BC=3cm，而C點的位置有兩種可能：點C在線段AB上和點C在線段AB的延長線上。這樣就要分兩種情況討論。

解：若C點在AB上，則AC+BC=AB

而BC=3cm，AB=8cm

∴AC=5cm

若C點在AB延長線上，則AB+BC=AC

而AB=8cm，BC=3cm

∴AC=11cm

∴線段AC的長為5cm或11cm。

很多幾何問題解決過程中都滲透了分類討論的思想。通過分類討論，既能使問題得到解決，又能使學生學會多角度、多方面地分析、解決問題。