逆向思維在高中數學解題中的應用分析

潘政顯

一、前 言

簡而言之，倒推即為逆向思維，即通過分析命題的結論，尋求結論成立的條件.高中的數學問題，很多用順推法不易找到問題的解決方法，采用逆向思維，根據要得到的結論可以較為簡單地得到解決問題的方法，從而得出問題的答案.

作為數學思維重要原則之一的逆向思維，是創造思維的重要組成，用逆向思維解決問題，通常可以獲取意想不到的結果.本文結合實例探討逆向思維在求解數學題中的應用.

二、公式、定理、定義的逆用

1.逆用公式

在數學中，存在著大量的公式，熟記數學公式是十分必要的，但是對于公式不能單一地背，應該對公式進行理解，全面地掌握公式，對關系式進行變式練習，逆用公式可以鍛煉學生思維的敏捷性，加強學生對公式掌握的熟練程度，提高解題技巧.

2.逆用定理

對于定理的逆命題，不是所有的都正確，但是在高中數學教學中，教師引導學生驗證逆命題是否正確，是一個有效指導學生研究新問題的方法，可以有效地激發學生學習數學的興趣和正確運用定理解題的能力.

例如 實數l，m，n，滿足m-n=8，且mn+l2+16=0，求證：m+n+l=0.

分析 用順推法直接求得l，m，n的值，運算量很大且容易出現運算錯誤，簡單的方法是用韋達定理的逆定理.

證明 由m-n=8可以得到m+（-n）=8，由mn+l2+16=0得到m（-n）=l2+16，則m，-n即為一元二次方程x2-8x+l2+16=0的兩個根.又因為m，-n為實數，所以，Δ=（-8）2-4（l2+16）≥0，解得-4l2≥0，所以l=0，則m，-n即為一元二次方程x2-8x+16=0的兩個根，解得m=-n=4，則有m+n+l=0成立.

3.逆用定義

在高中數學解題過程中，使用定義法是十分常見的，但是人們往往忽視定義的逆用，逆向應用定義，可以幫助我們快捷地解答問題.

例如 通過對|1-x|-|x-4|進行化簡，可以得到2x-5的結果，求x的取值范圍.

分析 根據題意，可得|1-x|-|x-4|=2x-5，從絕對值概念的反方向進行考慮，可以得到以下條件：1-x≤0以及x-4≤0，解不等式組可得1≤x≤4，則x的取值范圍為1≤x≤4.

三、逆向分析

在進行解答數學題的過程中，通常通過條件一步一步推得必要條件，最終得到結論.但是對于該類方法，不適用于所有的題目，一部分題目如果從條件入手，則會不知道從哪下手，根據正難則反的原則，進行逆向思考.從問題的結論出發，一步一步逆推到充分條件，最終得到題目給的條件或者有關的結論.通常我們將此稱之為分析法，多用于證明不等式的成立以及幾何中的分析論證等.

執果索因是分析方法的實質，通過找使得結論成立的充分條件證明結論的成立，廣泛應用于證明題中，體現了逆向思維在數學解題中的應用.

四、反面求證

反面求證包括兩種，即針對題目結論而逆以及針對題目條件而逆.針對題目結論而逆是通過證明結論的反面是錯誤的，從而得到結論是正確的，在這里，應該注意，運用反證法解決的問題通常是否定形式出現的.證明結論的反面成立，得到與公理、題設以及定義等相互矛盾的命題，即為反證法，從而可以推翻假設，肯定結論的正確性.反證法簡化了很多問題.

針對題目條件而逆，通常，我們不能改變題目的條件，但是，我們可以通過兩次改變，是條件回到原點的方式進行某些問題的處理，此方法適用于復雜的題目條件，以及由題目條件直接求解較為困難時，可在與原條件相反的情況下求解，得到結果后，再將其逆化處理，則可得到原題條件下的結果.

五、針對常規方法而逆

對于常規的解決問題的方法，我們很熟悉，但是如果采用常規方法時，解決問題不是特別順利，則需要我們采用非常規的方法，簡化運算難度.

六、培養學生逆向思維的方法

1.加強認識定義的內涵，重視定義的逆用

盡管某些學生可以背熟書上的定義，但是改變敘述方式后，則學生就不能熟練地應用了，所以在平時教學中，對學生對定理的理解應該加強訓練.

2.逆向思維的靈感需要通過公式互逆來培養

實踐證明，公式逆用是解決問題的重要方法，通過公式的逆用訓練，可以提高學生思維的靈活性以及提高學生對數學知識運用的靈活性.熟練掌握可逆定理、可逆法則等可逆資源，可以使得學生的知識更加融會貫通，提高學生的學習效率，增強學生學習的自主性.

3.加強逆向思維的訓練，提高學生的綜合能力

這就要求教師在進行數學教學中，在整個教學過程中貫穿逆向思維的方法，通過習題對學生的逆向思維進行訓練.主要可以采取以下方式：采用直觀的教學方法，提高學生逆向思維的基礎認識；在教學過程中不斷滲透逆向思維的方法，使得逆向思維的方法深入人心.但是應該引導學生不是所有的問題都適合逆向思維，應該根據具體的問題選擇合適的解題方法.

七、小 結

作為人類思維重要形式之一的逆向思維，是解決某些問題的快捷方法，同時培訓學生的逆向思維不僅完善教學理念，同時對提高學生學習數學的效率有重要意義.通過逆向思維的運用，可以有效地完善學生的知識結構，使得學生的視野得到開拓，提高教師的教學效率，學生的創造思維得到開發，提高了學生學習的能動性.