基于類比思維的高中數學解題方法研究

楊建仁

【摘要】通過兩則類比數學題的分析、解答與點評，具體闡釋了類比思維方法在高中數學解題中的應用.

【關鍵詞】類比思維；高中數學

一、引 言

自從人教版的數學新課標教材在全國范圍內廣泛試用后，數學思維的拓展越來越成為高中數學教育的重點.數學思維是傳統數學研究方式的深化，它蘊含了數學解題中的探索性思考方式，由于新課標的出現，數學思維在高中數學教育中也出現一定程度的更新.類比思維是高中數學教育中的一個重點，它是建立在探究性數學研究的基礎上的，在數學教育中灌輸給學生良好的類比思維方式，可以有效引導學生去觀察數學事理中的異同點，有助于學生開展創造性研究，積極發現問題，并努力認識問題.通俗地講，類比思維就是運用一定的邏輯思維，將兩種事物進行比較，尋找事物之間存在的異同點，它可以使學生的思維得到拓展，不斷調動學生學習數學知識的積極性，并提升學生的數學解題能力.

二、類比思維可以加強數學解題中對于新舊知識的對比

在高中數學題中，類比形式的題型約占所有題型的1/3之上，而有些題型雖然看似非類比式題型，但實際上也可以通過類比思維進行解答，而且運用類比思維的解題速度也可能會提高.運用類比思維解答高中數學題，一個重要的優勢在于它可以加強學生將新知識與舊知識進行聯系，這樣便促進了數學教學內容的不斷豐富和深化.在一堂內容豐富的數學課上，學生的創造性思維就會被激發出來，在不斷鞏固學生基礎知識的基礎上，可以在學生腦海里構筑自己的知識結構框架.

下面以一則數學實例對類比思維的這種優點做具體解釋，數學實例的題材為數列.在數列題中，等差數列和等比數列之間無論是定義還是通項公式都非常相似，因此我們可以運用類比思維考查等差數列，從而探究等比數列的性質.

例1 假設數列{an}與{bn}都是無窮數列，問題如下：

（1）現設{an}與{bn}都是等比數列，通過兩個數列的某種運算得到新數列{an + bn}，{anbn}，那么，這兩個新數列是否也都是等比數列？如果是，分別求出它們的通項公式和前n項和的公式；如果不是，請說明理由.

（2）請類比（1），并根據等差數列提出有關命題，寫出等差數列的前n項和的公式，用含有首項和公差的形式表示.

分析 （1）解答第一問，我們需從兩個數列的公比入手，根據{an + bn}和{anbn}是否存在公比即可判定它們是否屬于等比數列.在判定屬于等比數列以后，我們也必然知道它們的公比，于是根據等比數列求和公式即可解得前n項和的公式.

（2）首先討論兩個新數列的性質，然后從等比數列的乘類比到等差數列的和，討論其公差是否為零，從而求得等差數列的通項公式，于是前n項和公式便迎刃而解.

解 （1）設{an}和{bn}的公比分別為q1和q2，又設cn=an+bn，于是有cn2-cn+1cn-1=（a1q1n-1+b1q2n-1）2-（a1q1n+b1q2n）·（a1q1n-2+b1q2n-2）.

當q1=q2時，任對一個自然數n，且n大于等于2，cn2=cn+1·cn-1恒成立，因此有{an+bn}為等比數列，且其公比即為q1；

當q1=q2=1時，前n項和公式為Sn=n（a1+b1）；

當q1=q2≠1時，前n項和公式為Sn=（a1+b1）·（1-q1n）/（1-q1）.

但當q1不等于q2時，任對一個自然數n，且n大于等于2，有cn2不等于cn+1cn-1，因此{an+bn}不是等比數列.

又設dn=anbn，任對一個自然數n∈N+，有dn+1/dn=an+1bn+1/anbn=q1q2，所以數列{anbn}為等比數列，且公比為q1q2.

當q1q2=1時，前n項和公式為Sn=n（a1b1）；

當q1q2不等于1時，前n項和公式為Sn=a1b1·（1-q1nq2n）/（1-q1q2）.

（2）觀察（1）中{an+bn}、{anbn}的公比性質，我們發現有乘積形式的數列{anbn}的公比為q1q2，即原數列的公比之積，而首項也是原數列首項之積；{an+bn}的首項為（a1+b1），當存在公比時，其公比恰好為原數列的公比.

設{an}和{bn}都是等差數列，其公差分別為d1，d2，于是推測：

Ⅰ.{an+bn}為等差數列，且公差為d1+d2，前n項和公式為Sn=（a1+b1）·n+n（n-1）（d1+d2）/2.

當d1，d2至少存在一個為零時，{anbn}也為等差數列，若d1=0，則Sn=a1b1n+n（n-1）·a1d2/2；若d2=0，則Sn=a1b1n+n（n-1）·b1d1/2.

Ⅱ.當d1，d2都為零時，{anbn}不是等差數列.

點評 例1主要考查了數列題的類比推理，其中主要涉及了等比數列與等差數列之間的性質轉換，在類比推理的過程中，主要涉及等比數列類推到等差數列時關于公比和首項之間的推理對應，但總體而言，該題屬于基礎性類比推理題.

三、類比推理思維可以促進數學知識的條理化

數學是一個不斷積累邏輯思維的過程，這要求學生將已學知識進行有條理地整合，促進學生對數學知識的理解并不局限于量的增加，而是質的提升.下面通過一則類比推理的例子，說明類比推理思維在促進數學知識條理化中的重要意義.

例2 如圖所示，ABC-A1B1C1為一斜三棱柱，點P為ABC-A1B1C1其中一條側棱BB1上的任意一點，過點P分別作垂線PM垂直于AA1，PN垂直于CC1，垂足分別為M，N，連接MN.

（1）證明：MN垂直于CC1；

（2）任給一個△DEF，存在如下余弦公式：DE2=DF2+EF2-2·DF·EF·cos∠DFE.現將此公式拓展到空間圖形，類比平面三角形的余弦定理，推測斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個側面所成的二面角之間的關系式，并給出相應證明.

分析 （1）在斜三棱柱中，有CC1平行于BB1和AA1，欲證MN垂直于CC1，即CC1垂直于MN，我們可從CC1垂直于MN所在平面PMN入手，若CC1垂直平面PMN得證，則必有該題結論成立.

（2）該題的第二問主要考查平面中三角形的余弦定理在空間圖形中的推廣，其中聯系的線索為余弦定理.在空間立體幾何中，還考查了學生對二面角的熟悉程度和應用.這里的類比主要是從平面中的線類比到空間中的面，兩條線的交角類比到空間兩個面所成二面角.利用第一問的結論，對于余弦公式PM2=MN2+PN2-2·MN·PN·cos∠PNM，兩邊同乘以CC12即可得到斜三棱柱三個側面的面積，于是得證.