化圓為方

李先銅

【摘要】古希臘三大幾何問題，數學家說是無解.今天，我找到了答案.現將第一題，化圓為方解答如下.

【關鍵詞】化圓為方；尺規（半圓規）；弧度線；后記；圓的運動功能

古希臘三大幾何問題第一題：化圓為方.即作一個正方形與給定的圓面積相等.作圖時，要求用直尺和圓規.

我把答案分三步驟：一、證明圓等于方；二、找出相等的圓與方；三、尺規作圖.

一、求證：圓等于方

幾何分析：在一正方形內作內切圓，圓的面積小于正方形的面積.設正方形面積不變.現在，增加圓的面積.使圓從正方形的內切圓，逐漸增大變成正方形的外接圓.圓的面積大于正方形的面積.推理：在這個面積變化過程中，有一個瞬間，圓的面積正好等于正方形的面積.即：○<匚，○=匚，○>匚.由此證明：圓一定能等于方.

二、找出相等的圓和方

1.圓與方相等時，圓不可能在方內小于方，也不可能在方外大于方.圓與方必須相交.

2.它們相交有8個點，這說明，圓從圓心向四周發了8條射線.

3.這時，圓露出4個小弓形于方外，方露出4個小尖角于圓外.在圓與方面積相等時，圓的小弓形等于方的小尖角.

4.經過分析，當圓的小弓形的弧長等于圓半徑時，圓與方面積相等.

三、作出與圓面積相等的正方形

1.用尺規——半圓規（又名量角器，去掉刻度），作出給定圓.

2.將圓對折，得到半圓；再次折疊，得四分之一圓.將四分之一圓展開，并畫出十字折疊線.折疊線的交點就是圓心，半徑也一目了然.

3.作出4條弧度線.用半圓規的圓邊，在圓半徑直線上滾動，得到與半徑等長的弧GH，得到點H——弧度點，再作出H與圓心F的直線FH——弧度線，并延伸，得到另一條弧度線.然后，作出FH過F點的垂直線——另外兩條弧度線，從而得到圓的4條弧度線.并且在圓周上得到8個點，即折疊十字線與圓相交的4個點和4條弧度線與圓相交的4個點，共8個點.

4.把這8個點，如圖相連，并延伸，使它們在給定圓外，相交4個點構成一個正方形BCDE.

5.求證：正方形BCDE的面積等于給定圓的面積.

證明：

∵GH弧=圓半徑，

∴S扇形FGH=S△FGI.S扇形FHI=S弓形GHI.

∵已知（步驟二，第3點已證出）當○=匚時，

S小弓形GH=S小尖角HCI，

∴S弓形GHI=S△GCI.

∵S扇形FHI=S弓形GHI，S弓形GHI=S△GCI，

∴S扇形FHI=S△GCI.

∵S1/4圓=S扇形FGH+S扇形FHI=S△FGI+ S△GCI=S1/4方，

∴正方形BCDE的面積等于給定圓的面積.

四、后 記

1.圓與方面積可以相等，而且任意一個圓都有和它面積相等的正方形.它們的關系是一一對應相等.

2.如果圓的面積是個無理數，那么方的面積也是無理數.如果方的面積是整數，圓的面積也是整數.

3.我們用直尺畫出直線.其實作出直線的方法很多，比如將線兩端固定，拉直；比如我們搞建筑，木工用的墨線.

4.我們用兩腳規畫圓.其實，我們作圓的方式很多，比如用半圓規、環圓規、孔圓規.因此，我們把圓規限定為兩腳規，是不科學的，也是不明智的.

5.半圓規，其實就是尺規.因為它既可以當尺用，作直線，又可以當圓規用，作圓.它凝聚了尺與規的雙重功能，把尺規統一了起來.所以，它應該叫做尺規.兩千多年前，規定的尺規的兩腳規沒有圓的滾動和折疊的功能，是有缺陷的圓規.為了對圓進行更深刻的研究，我們就必須運用圓自身的運動功能，圓的滾動和折疊功能.過去，我們沒有用到圓的自身的滾動和折疊的功能，忽視了圓的運動，以至于畫圓為方問題，兩千五百多年來沒有答案.

6.今天，我用到了圓的滾動和折疊的運動功能，很輕松地解決了.兩千多年來數學家、科學家未能解答的數學神話，這是一個傳奇.