中考中現實類試題幾例淺析

丁曉梅

在新課程標準中，對數學的學以致用的現實意義要求越來越重要，與現實生活有關的考題也出現得越來越普遍，由于任何客觀對象都有其空間形式和數量關系，因而從理論上說以空間形式和數量關系為研究對象的數學可以應用于客觀世界的很多領域.

應用數學解決生活中的問題，不但首先要提出問題，并用明確的語言加以表述，而且要建立數學模型，還要對數學模型進行數學推導和論證，對數學結果進行檢驗和評價.也就是說，數學之應用，它不僅表現為一種工具，一種語言，而且是一種方法，是一種思維模式.根據數學應用的廣泛性特點，要解決現實生活中的數學問題，就要建立和操作數學模型，以及進行檢驗和評價.

下面我們就以幾例來觀察、實踐操作、感受一下選取適當的數學模型即可實現輕松解題：

一、建立數學模型將問題轉化成直角三角形，運用勾股定理解決

這類試題往往基于二維平面或三維空間的實際生活中與物體的高低、長短、遠近有關的計算類題目，用數形結合方法，通過添加垂線段得到直角三角形，運用勾股定理進行計算.

例1 某學校體育場看臺的側面如圖陰影部分所示，看臺有四級高度相等的小臺階.已知看臺高為1.6米，現要做一個不銹鋼的扶手AB及兩根與FG垂直且長為1米的不銹鋼架桿AD和BC（桿子的底端分別為D，C），且∠DAB=66.5°.

（1）求點D與點C的高度差DH；

（2）求所用不銹鋼材料的總長度l（即AD+AB+BC，結果精確到0.1米）.（參考數據：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）

分析 （1）易見D點與C點的高度差為三級臺階的高度.

（2）關鍵：分別求出三條線段AD，AB，BC的長度.而AD=BC=1米，故只需求出線段AB的長度.如圖，過點C畫水平線交AD的延長線于點H，過B作BM⊥AH于M，可得矩形BCHM和直角△ABM.由題意易見AD=BC=MH=1米，每級臺階的高度0.4米，AM=AH-MH=2.2-1=1.2（米）（或者AM=AH-MH=AH-1=AH-AD=DH=1.2米），在直角△ABM中，已知一邊和一角，則只需選擇適當的銳角三角函數即可求出AB的長度.

解 （1）DH=1.6×34=1.2（米）.

（2）過B作BM⊥AH于M，則四邊形BCHM是矩形，MH=BC=1.∴AM=AH-MH=1+1.2-1=1.2. 在Rt△AMB中，∵∠A=66.5°，∴AB=AMcos66.5°≈1.20.40=3.0（米）.∴s=AD+AB+BC≈1+3.0+1=5.0（米）.

答：（1）點D與點C的高度差DH為1.2米.

（2）所用不銹鋼材料的總長度約為5.0米.

說明：（1）這里所給的三個銳角三角函數不一定全用上，只要選用你所需要的即可.

（2）在與實際問題有關的計算題中，很多時候都要按要求取近似數.

二、列出分段函數解決分類討論問題

這類題如水費、電費、電話費、手機費、出租車費、旅游費、稅收、生產中供需關系等.

解題關鍵：（1）注意分界點；（2）注意所給的變量的值分別對應哪個變量，分別對應哪個函數表達式中的哪個變量.

例2 某市為了鼓勵居民節約用水，采用分段計費方法按月計算每戶家庭的水費，月用水量不超過20 m3時，按2元/m3計費；月用水量超過20 m3時， 其中的20 m3仍按2元/m3收費，超過部分按2.6元/m3計費.設每戶家庭月用水量為x m3時，應交水費y元.

（1）分別求出0≤x≤20和x>20時y與x的函數表達式；

（2）小明家第二季度交納水費的情況如下：