基于微積分應(yīng)用的研究

趙志剛

一、前 言

早在17世紀(jì)微積分這門學(xué)科就產(chǎn)生了，這是數(shù)學(xué)上的一個偉大的創(chuàng)造.自從產(chǎn)生以后，它不只是對數(shù)學(xué)學(xué)科，對社會的生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展都產(chǎn)生著重要的影響.現(xiàn)在，微積分對于人們生活來說更是一種不可缺少的實用性工具.它的存在一直推動著社會的不斷進(jìn)步，一直推動著生產(chǎn)力的持續(xù)發(fā)展.通過對這門學(xué)科的深入研究可以解決諸如航海、礦山建設(shè)等課題，通過在物理學(xué)科、經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面的具體應(yīng)用，凸顯出微積分對于生活的重要意義.

通過本文，筆者將一一呈現(xiàn)微積分這門學(xué)科在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中的應(yīng)用，以凸顯這門學(xué)科對于生活的重要作用，以便與眾多專家、學(xué)者進(jìn)行交流，并希望得到大家的斧正與指點.

二、微積分在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

微積分本身就是數(shù)學(xué)的一個重要的分支.如今它已經(jīng)獨立形成一門學(xué)科，在數(shù)學(xué)中，尤其是在幾何學(xué)中應(yīng)用較廣泛.

1.求平面圖形的面積

在直角坐標(biāo)情形中，設(shè)曲線y=f（x）（≥0）與直線x=a，x=b（a 2.求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積

設(shè)平面光滑曲線y=f（x）∈C1[a，b]，且f（x）≥0，求它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.側(cè)面積元素：位于[x，x+dx]上的圓臺的側(cè)面積dS=2πydS=2πf（x）1+f′2（x）dx，積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積S=2π∫baf（x）1+f′2（x）dx.

除此之外，用微積分還可以求平面曲線的弧長、求立體的體積、求旋轉(zhuǎn)體的體積等，在此不做一一列舉.

三、微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，微積分應(yīng)用的主要作用就是利用相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，計算解決實際問題.可以用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行定量分析，計算出最優(yōu)化結(jié)果.或是依據(jù)導(dǎo)數(shù)的某些性質(zhì)來解釋經(jīng)濟(jì)學(xué)函數(shù)圖像的走向及原因等問題.利用極限概念有效解決復(fù)利、解決彈性計算等問題.此外，還可以用積分求某項目的總成本和總利潤等.

在這里我主要探討下導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用.導(dǎo)數(shù)反映函數(shù)的自變量在變化時，相應(yīng)的函數(shù)值變化的快慢程度——變化率.函數(shù)y=f（x）在某一點x0的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式如下：若函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間內(nèi)每一點都可導(dǎo)，則稱y=f（x）在該區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，記f′（x）為y=f（x）在該區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)）.

一般來說，利用導(dǎo)數(shù)可以計算邊際和彈性問題，用導(dǎo)數(shù)來表示邊際效用、邊際收益、邊際利潤、邊際替代率，等等.

此外，還有邊際需求與邊際供給、邊際成本函數(shù)等簡單的應(yīng)用.本質(zhì)上來說，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)關(guān)于自變量的變化率.這一變化率與經(jīng)濟(jì)學(xué)中的變化率問題是相同的，所以我們可以用所學(xué)的導(dǎo)數(shù)知識進(jìn)行分析和解決，簡而言之用公式來表示為MRS=-ΔyΔx.

四、微積分在物理中的應(yīng)用

在物理學(xué)中，有很多概念都是通過微積分的形式來呈現(xiàn)的.如速度v=drdt，加速度a=dvdt，轉(zhuǎn)動慣量I=∫dm·r2，安培定律dF=Idl×B，電磁感應(yīng)定律ε=-NdΦdt等.

如果是用積分求解物理中涉及的積分元問題時，要注意積分或積分變量的選取和計算，這樣才能方便、快捷地計算出結(jié)果.而在應(yīng)用微積分方法求解物理問題時更要注意微元的選取，這是決定解決物理問題的關(guān)鍵，一般都是要選取更大的微分，利用微分和積分互為逆運算的原理進(jìn)行便捷的運算，同時也要處理好微分和積分的矛盾關(guān)系，這樣才能保證運算結(jié)果的便捷和準(zhǔn)確.

此外，微元的選取也并不是分析物理問題最為關(guān)鍵的部分，要充分利用對稱性來選取適當(dāng)?shù)囊辉⒃员ＷC積分運算的簡單、精確.

此外，還可以用微積分相關(guān)知識來求側(cè)體壓力和引力問題.

五、微積分中體現(xiàn)出的哲學(xué)思想

我們都知道數(shù)學(xué)和哲學(xué)是最為古老的學(xué)科，它們在長期的發(fā)展過程中必然會產(chǎn)生某種聯(lián)系，相互影響，相互促進(jìn).在這樣的關(guān)系中，數(shù)學(xué)和哲學(xué)取得了較快的發(fā)展.

微積分產(chǎn)生后，經(jīng)歷漫長的發(fā)展過程，至今定型.這一漫長的過程也是一個不斷變化、不斷發(fā)展的過程，也是永無休止的運動的歷史演變過程，體現(xiàn)出了唯物辯證法的科學(xué)方法論.這一方法論是關(guān)乎人類認(rèn)識世界和改造世界的理論.它更強(qiáng)調(diào)聯(lián)系、發(fā)展、全面地看待問題和處理問題.而在微積分中的任一概念和理論也都存在著產(chǎn)生和發(fā)展的歷程，也都在進(jìn)行著運動，也就是演化，在特定時間的狀態(tài)能呈現(xiàn)出歷史的條件和面貌. 而微積分的產(chǎn)生和發(fā)展就能很好地體現(xiàn)方法論的基本原則——量變與質(zhì)變的關(guān)系.量變勢必出現(xiàn)質(zhì)變，數(shù)學(xué)中的分支在一定時期進(jìn)行長期演變，進(jìn)行量的積累，最終形成了微積分這門獨立的學(xué)科.由此看出，辯證唯物主義的方法論為微積分研究提供了基礎(chǔ)，它們之間的關(guān)系可以這樣界定.可以說，微積分中無處不體現(xiàn)出哲學(xué)思想，反過來說，哲學(xué)也促進(jìn)了微積分的產(chǎn)生和發(fā)展.我們要站在哲學(xué)的高度去看待生活中的實際問題，對微積分、高等數(shù)學(xué)以及生活中的各學(xué)科的研究和學(xué)習(xí)都具有指導(dǎo)作用.我們不應(yīng)該將某一學(xué)科、某一知識進(jìn)行孤立，要找到它們的對立統(tǒng)一的關(guān)系，找到它們的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，方面我們繼續(xù)深入地學(xué)習(xí)和研究.

六、結(jié)束語

如今，社會經(jīng)濟(jì)和科學(xué)都在飛速發(fā)展，關(guān)于各個學(xué)科的研究也都在逐步深入和具體，微積分學(xué)也是如此.同時，各個學(xué)科之間的聯(lián)系也更為緊密，在生活中的應(yīng)用也更為直接和直觀.我們要充分認(rèn)識到微積分對于現(xiàn)實生活及各個學(xué)科的重要作用和實際應(yīng)用，進(jìn)而最優(yōu)化地解決相應(yīng)的問題，實現(xiàn)微積分學(xué)科的工具性，促進(jìn)我們社會和生活的不斷進(jìn)步和完善.