高考數(shù)學(xué)中美妙的“1 ”的應(yīng)用

侯志豪　姜寧　李菲菲

【摘要】對(duì)1的應(yīng)用說(shuō)易也易，說(shuō)難也難，關(guān)鍵是如何應(yīng)用得妙不可言.從小學(xué)我們就認(rèn)識(shí)了1，從小學(xué)角度認(rèn)識(shí)1是最小的整數(shù).再稍微深點(diǎn)認(rèn)識(shí)就是1是一個(gè)整體，而這一整體在高中數(shù)學(xué)解題中又蘊(yùn)含了整體思想.1也可以說(shuō)是一個(gè)角正弦與余弦的平方和，也可以理解為正切與余切的積.還有很多條件求值的題目也可以運(yùn)用對(duì)1的轉(zhuǎn)化.1的應(yīng)用很廣泛，可以貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué).本文將結(jié)合高中數(shù)學(xué)幾大重要思想方法從三角函數(shù)、基本不等式、柯西不等式等多方面對(duì)1進(jìn)行巧妙地應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】“1”；三角函數(shù)；基本不等式；柯西不等式；數(shù)學(xué)思想方法

高考數(shù)學(xué)中，美妙的“1”的應(yīng)用有著重要的地位，在求解三角形、不等式問(wèn)題時(shí)有著不可替代的作用.由此可看出研究它的重要性和必要性.本文就如何巧妙地運(yùn)用1，該問(wèn)題有何性質(zhì)特點(diǎn)及在高考中還有何延伸題型作了詳細(xì)的探討和研究.

一、1在三角函數(shù)中的應(yīng)用

例1 已知tan α=2，求2sin2α+3sinαcosα-5cos2α的值.

分析 已知tanα=sinαcosα，要求的是關(guān)于弦的整式，如何將弦轉(zhuǎn)化為切呢？我們可以在分母中引入1，而sin2α+cos2α=1，再將1用sin2α+cos2α進(jìn)行代換，該題將迎刃而解.

解 2sin2α+3sinαcosα-5cos2α

=2sin2α+3sinαcosα-5cos2αsin2α+cos2α

=2·sin2αcos2α+3·sinαcosαcos2α-5sin2αcos2α+1

=2tan2α+3tanα-5tan2α+1

=2×22+3×2-522+1

=95.

二、1在基本不等式中的應(yīng)用

1在基本不等式中的應(yīng)用可分為：直接代換、變換條件代換、創(chuàng)造條件代換這幾種代換類(lèi)型.筆者將從近幾年高考試題的亮點(diǎn)，重點(diǎn)研究創(chuàng)造條件用1來(lái)代換.

例2 已知00，n>0，求y=m2x+n21-x的最小值.

分析 本題條件中沒(méi)有給出含1的等式，無(wú)法直接用1的代換法求解，我們要?jiǎng)?chuàng)造條件代換，但觀察待求函數(shù)，易知其分母之和為1，故可將1=x+（1-x）代入所求函數(shù)式，即可用1的代換法求解.

解 y=m2x+n21-x=m2x+n21-x[x+（1-x）]

=m2+n2+m2（1-x）x+n2x1-x

≥m2+n2+2mn=m+n2，

當(dāng)且僅當(dāng)m2（1-x）x=n2x1-x，即x=mm+n時(shí)等號(hào)成立.

故ymin=m+n2.

三、1在柯西不等式中的應(yīng)用

1在配柯西不等式有很多技巧.尤其是在解題過(guò)程中如何巧妙合理地運(yùn)用1，這里是體現(xiàn)了1的美，更體現(xiàn)了代數(shù)的美.下面將從一道高考題中享受這一美的過(guò)程.

例3 已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿(mǎn)足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，試求a的取值范圍.

分析 本題條件中沒(méi)有給出含1的等式，無(wú)法直接用1的代換法求解，但觀察發(fā)現(xiàn)12+13+16=1，將用12+13+16=1來(lái)配柯西不等式.

解 由柯西不等式得（2b2+3c2+6d2）12+13+16≥（b+c+d）2，

即2b2+3c2+6d2≥（b+c+d）2.

由條件可得5-a2≥（3-a）2，解得1≤a≤2，

當(dāng)且僅當(dāng)2b12=3c13=6d16時(shí)等號(hào)成立，

代入b=1，c=13，d=16時(shí)，amax=2；

代入b=1，c=23，d=13時(shí)，amin=1.

故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，2].

總之，對(duì)1在高考數(shù)學(xué)解題的探究是一項(xiàng)創(chuàng)造性和挑戰(zhàn)性的活動(dòng)，它不僅僅有利于創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)，而且對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)的培養(yǎng)和學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高起著不可低估的作用.事實(shí)上這些方法不是孤立的，在具體的解題實(shí)踐中，往往需要綜合考慮，靈活運(yùn)用，才能使問(wèn)題得到順利解決.至于這些技巧的由來(lái)需要平時(shí)的積累和總結(jié).在教學(xué)過(guò)程中可以大膽想象和歸納，這樣你的思維就能得到很大提升.實(shí)際上1還有很深的內(nèi)涵，由于筆者水平有限不能想到，望大家補(bǔ)充指正.

【參考文獻(xiàn)】

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