數(shù)學的奇異美

廖紅菊

【摘要】數(shù)學的美是千姿百態(tài)、引人入勝的.奇異美主要表現(xiàn)在奇特、巧妙、非常規(guī)和突變，讓人體驗到數(shù)學的神奇與美麗.

【關(guān)鍵詞】虛數(shù)；實數(shù)；級數(shù)；數(shù)列

培根說 “沒有一個極美的東西不是在勻稱中有著某種奇異”.數(shù)學公式的簡潔、結(jié)果的突變、解法的獨特等，無不蘊含著數(shù)學的奧妙與魅力，展現(xiàn)出奇異之美！

1.五個最常用數(shù)的神奇聚集

在復(fù)數(shù)的三角形式eiθ=cosθ+isinθ中，當θ=π時，eiπ=-1，于是有eiπ+1=0，這就是著名的歐拉公式.它漂亮簡潔地把數(shù)學中五個最常用、最基本、最重要的數(shù)1，0，π，e，i聚集在一起，巧妙神奇地體現(xiàn)了數(shù)學的奇異之美.

美國數(shù)學史家克萊因說：沒有一個人像歐拉那樣多產(chǎn)，像他那樣巧妙地把握數(shù)學；也沒有一個人能以采集和利用代數(shù)、幾何分析的手段去產(chǎn)生那么多令人欽佩的結(jié)果.如今以歐拉命名的定理、方程、公式多不可數(shù)，克萊因認為，eiπ+1=0是整個數(shù)學中最卓越的公式之一.

2.ii竟是實數(shù)

我們知道，i是虛數(shù)單位，即i2=-1， i=-1.關(guān)于虛數(shù)有很多迷人的性質(zhì)，如ii竟是實數(shù)，這一結(jié)論確實讓人質(zhì)疑，但歐拉公式eiπ+1=0可以證明它.由歐拉公式有eiπ=-1，于是eπ2i=-1=i，所以ii=（eπ2i）i=e-π2是一個無理數(shù).易知i-i和ii都是實數(shù)，因為i-i=eπ2，ii=i1i=i-i=eπ2.

3.調(diào)和級數(shù)1+12+13+…+1n+…卻是無窮大

對調(diào)和級數(shù)雖有l(wèi)imn→∞1n=0，但卻有l(wèi)imn→∞1+12+13+…+1n+…=∞.

事實上，關(guān)于調(diào)和級數(shù)有關(guān)系式limn→∞（1+12+13+…+1n-lnn）=c（c是歐拉常數(shù)0.577216…），也即limn→∞1+12+13+…+1nlnn=1.

即當n→∞時，1+12+13+…+1n與lnn是等價無窮大.

4.級數(shù)1+122+132+…+1n2+…=π26

級數(shù)1+122+132+…+1n2+…的每一項都是有理數(shù)，但其和卻是無理數(shù)π26.因為sinx的麥克勞林展式為sinx=x-x33！+x55！-x77！+x99！-….

于是sinxx=1-x23！+x45！-x67！+x89！-….

歐拉認為sinx=0有無限多個根：x=0，±π，±2π，±2π，±4π，….

于是sinxx=0也有無限多個根：x=±π，±2π，±2π，±4π，….

可以得到： sinxx=1-x23！+x45！-x67！+x89！-…=（1-x2π2）（1-x24π2）（1-x29π2）….

這是一個無窮多項和等于無窮多項積的方程，把無窮多項的積算出來，再比較兩邊x2的系數(shù)，就可以得到13！=1π2+14π2+19π2+…，也就可求出1+14+19+…+1n2+…=π26.這是極其獨特和諧、令人吃驚的等式，其推導方法也是極其巧妙的！

5.整數(shù)數(shù)列通項公式的無理表達

假定一對幼兔（雌雄各一個），幼兔出生后第二個月就長為成兔，有生殖后代的能力，每月生一對小兔（雌雄各一個），那么這一對兔子如此繁殖，第n個月兔子繁殖的總數(shù)是多少？

分析題意，可得一對兔子如此繁殖，每月兔子總數(shù)依次是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，….

這個無限數(shù)列就是著名的斐波那契數(shù)列，其中每一項叫做一個裴波那契數(shù).若用un表示數(shù)列的第n項，則有un=un-1+un-2，進而可推出un=151+52n-1-52n，它是裴波那契數(shù)列的通項公式.一個有理數(shù)列的通項公式卻由一個無理數(shù)表示，且形式極其對稱與和諧，無不讓人感到奇妙！

數(shù)學公式、結(jié)論、解題方法等中呈現(xiàn)的數(shù)學的奇異美，可謂美不勝收，讓人為之贊美，為之陶醉！