論數學復習課教學與學生發散思維的培養

肖麗芬

跨入新世紀，實施素質教育，全面提高學生的綜合素質和培養學生的創新能力，已成為當前中國教育改革的主旋律。實施素質教育，就是要教育工作者營造一種良好的教與學的氛圍。下面我談談在數學復習課教學中如何啟動學生發散思維，營造培養學生發散思維的良好氛圍。

一、發散思維能開發學生學好數學的潛能。

哲學家歌德曾風趣地說：“經驗豐富的人讀書用兩只眼睛，一只眼睛看到紙面上的話，另一只眼睛看到紙背后的話。”“紙背后的話”就是指思維。發散思維（即求異思維）包括橫向思維、逆向思維及多向思維。它要求你放開眼光，對已知知識信息進行分析、綜合并科學加工，從而收到“一個信息輸入，多個信息產出”的功效。

它的特點表現在思考活動的多向性、變通性、流暢性和獨特性。它的功能表現為可以開啟心扉、震撼心靈，挖掘深層信息、架設起由已知經已知達未知的橋梁，創造出新的思路和解法。從一點出發向四周輻射進行思維與靈魂的對話，以達到心中悟出其真諦，從而開闊視野，舉一反三，觸類旁通的效果。

在數學復習課教學中引導學生發散思維，有利于學生深刻理解知識點（即概念、定理、公式等）的內在要素，有利于全面把握相關知識點的相互聯系，形成網絡，實現知識的高層次理解和有效存貯。例如，在復習四邊形這一章時，由于概念、性質、判定和圖形多，各圖形之間的性質判定方法又極易混淆，而內容又廣，逐一羅列各圖形概念，顯然覺得重復累贅。復習時可以讓學生畫一個圖，找出四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的相同點與不同點，這樣學生就把特殊四邊形與一般四邊形的關系搞清楚了。

二、營造發散思維的氛圍，開發學生的深層智能。

1.精選范例，挖掘例題教學功能。

世界上的事物都是彼此聯系、互相依存的，學生獲得的知識也是互相聯系、彼此依存的。在復習教學中，通過精選范例，可溝通知識之間的縱橫關系，以點帶面，以少勝多，開闊學生知識視野，有利于知識的延伸與拓展。例如：復習有關三角形中線問題時，可以串聯有關知識，組成一系列問題，引導學生通過分析推理，復習這些知識。

（1）已知三角形ABC，AD是△ABC的中線，則△CAD和△ABD是不是全等三角形？是不是相似三角形？是不是面積相等？為什么？

（2）已知△ABC的三邊長分別是a、b、c，三條中線組成一個三角形，新三角形的三條中位線又組成一個新三角形，依此類推：①求第三次組成的三角形的邊長；②如果第三次組成的三角形的面積為1cm，求△ABC的面積。

（3）已知等腰三角形ABC中，BC邊上的高AD為9，AB邊上的中線CE為6，求△ABC的面積。

（4）已知在平行四邊形ABCD中，M、N分別為BC、AD的中點，AM、CN交BD于E、F，求證：BE=EF=FD。

對于一些有相互聯系的內容，可以串聯有關知識，組成一系列問題，引導學生通過分析推理復習這些知識。

2.變式訓練，優化學生的思維。

變式訓練是總復習的常用教學手段。通過變式，可提示知識的本質和內涵，同時又從不同角度、不同方位來訓練學生的思維，有利于考查學生的能力，培養學生思維的開闊性、靈活性。比如在平行四邊形ABCD中，點E、F是對角線AC上的兩點，且AE=CF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形。這是一道華師大版八（下）數學課本例題，經變式可得以下問題：在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若點E、F是對角線AC上的兩動點，分別從A、C兩點以相同的速度1cm/s向C、A點運動，（1）四邊形BFDE是平行四邊形嗎？（2）若BD=10cm，AC=16cm，當運動時間t為何值時，EF=BD？例題主要是利用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”這個判定證明四邊形BFDE是平行四邊形。變式在基礎知識上加深難度，由點E、F的位置在線段AC上的不動型化為動態型，在例題圖形類比下讓學生自己畫出滿足條件的圖形加以探究，發現此問題仍然可以利用例題的判定方法得出相同的結論。這樣在保持圖形的某些性質不變的情況下，將組成圖形的某些元素（如點、線等）運動起來，在運動中尋找不變關系或變化的規律，提高了復習興趣，培養了數學解題能力和探究能力。

又比如復習書本上另一道題，求證：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。復習時可以不失時機地進行變式，激發學生的思維興趣。變式1：順次連接矩形各邊中點所得四邊形是什么圖形？變式2：順次連接菱形各邊中點所得四邊形是什么圖形？變式3：順次連接正方形各邊中點所得四邊形是什么圖形？做完這四個練習后，還可以進一步引導學生概括影響組成圖形形狀的本質的東西是原來四邊形的對角線所具有的特征。這樣通過一道題的練習解決了一類問題，歸納出各量之間最本質的東西，今后碰到類似問題學生思維指向必定準確，很好地培養了學生思維的深刻性。

3.拓展引申，培養學生探究能力與學生思維的變通性。

在學生掌握課本知識結構、解題基本技能基礎上，注意學生研究、探索的思維習慣，通過對探索性問題不斷猜測、探索，有利于學生創造性思維的培養，解決問題的能力的提高。

例如，MN是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，求證：點A、B到MN的距離之和等于⊙O的直徑。這是一道很普通課本習題，如挖掘課本習題的潛在價值，創設新穎的問題情境，拓展思維的空間，則可得到下面問題。

已知AB是⊙O的直徑，P點在AB延長線上，PM切⊙O于C，CD⊥AB于D，AM⊥PM于M，BN⊥PN于N，你能得到哪些結論？若連接OC、AC、BC，你又能得到哪些結論？

這是一個探索性問題，分析條件發現結論，由于這題中涉及線段、等角較多，其內容豐富，涉及面廣，既能使學生復習直線、圓、切線等知識，加強知識間的聯系，又能使學生由淺入深，由此及彼地探索解題途徑，引導學生不斷探索，從而激發學生不斷進取、勇于探索的精神。

三、在培養發散思維的過程中應注意培養學生思維的收斂性，揭示本質，概括和深化數學思想。

數學思想是數學思維的核心，是數學知識與方法的抽象與概括，是數學的靈魂。教師在平時教學中注意提煉數學思想和方法，強化學生對數學思想、方法的運用，這有利于學生優化知識認知結構，活化所學知識，深化思維層次，從而提高數學解題能力。如：在一次數學習題課上，有一例題：若等腰三角形的頂角∠A=108°，BC=a，AB=b，BD平分∠ABC交AC于D，求CD。

課堂上，學生甲、乙分別給出了解法一：在BC上截取BE=BA，連接DE運用三角形的全等可得；解法二：延長BA到F，使BF=BC，連接DF，則△BDF≌△BDC。可得答案。

兩種證法都達到了目的，由于“課堂要以學生為本，以學生為主體”，我問：“還有別的解法嗎？”

學生C：過點A作AE∥BC，交BD的延長線于E點。然后利用比例式可求出。

學生D舉起了手：在BC上截取BE=BA，連接AE。然后運用△ABC∽△EAC，即得答案。

學生E：我還有另一種證法，是延長CA，截取CF=BC。連接BF，可證∠F=∠FBC=72°，從而得△FAB∽△FBC。解一下即得答案。

雖然學生獲得上述結果要花許多時間，但做這樣的一題的價值要比做五題高，同時學生活動自由了，參與意識增強了，思維更活躍了。因此花點時間是非常必要和值得的。

綜上所述，在初三復習教學中，通過剖析知識結構，精選范例，變式訓練，加深拓展等方式，可從各個不同側面強化學生對基礎知識的掌握，溝通知識間內在聯系，從而達到良好的復習教學效果。因此，我們在數學教學過程中應培養學生懂得應用發散思維（題型發散、轉化發散、遷移發散、構造發散和分解發散）進行分門別類，使學生懂得解類型題的規律。

任何一個創造過程，都是發散性思維與收斂性思維的完美結合。數學中的“型異質同”“型近質同”的問題只需歸類分析就可以抓住其共同本質特性，掌握解決各類問題的規律，進而觸類旁通。