從一道教材例題探討歷程的點滴感悟

袁新忠

課堂是學與教的主陣地，也是思維碰撞產生火花的平臺，課堂上要做到豐富多彩、有血有肉，要以學生為主體，教師為主導。在教師的引導下，充分開發學生思維的潛能，展現學生思維的過程，分析學生思維的生長點，彌補學生的思維缺陷，優化學生的思維方式，使學生在師生共同探討的過程中感受到學習的樂趣.以下是必修2“2.1.6點到直線的距離第二節課”中一道例題與學生共同探討的經過，僅供參考.

一、教學片斷

教師：在學習過點到直線的距離公式后，我們思考這樣一道例題的解法：

例：建立適當的直角坐標系，證明：等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高.

學生1：過點B作邊AC上的高BH，過點P作PN垂直于BH，垂足為N.則只需證明AN=PE即可（挖掘條件證明△AEP？艿△PNA）.

教師：可以，該同學使用了平面幾何知識，采用了分割法處理問題，還有不同意見嗎？

學生2：我還有另外一種方法，可以根據幾個相似三角形來處理，由三角形的相似比有：，再利用等和比性質處理.

教師：這位同學說得很好，也是有效利用初中知識，處理恰當靈活.還有不同意見嗎？

學生3：也可以用等面積法：，代入數值后可以得出結論.

教師：前面立體幾何中經常用的等體積法給這位同學一個有效的知識嫁接，該同學想到了用等面積法解決問題同樣起到了異曲同工的作用，值得大家學習.還有不同意見嗎？

思考一段時間后，有同學站起來提出不同意見：

學生4：上面同學解決這題原則上是錯誤的（很多同學感覺很驚愕），因為題目有前提條件是“建立適當的直角坐標系”，同學們恍然大悟，這位同學很有成就感.

教師：這位同學說得很好，根據題意上面3位同學的解法可以說是不符合題意的，正確解法是（展示蘇教版必修2教材第104至第105頁的過程）：

解：如圖建立平面直角坐標系，根據題意設A（a，0），B（0，b）（a>0，b>0），則C（-a，0）.

直線AB方程為：，即bx+ay-ab=0，同理直線BC的方程為：bx-ay-ab=0，

點P到AB的距離為：；點P到BC的距離為：PF=；點A到BC的距離為：PE=，所以PE+PF=，因此，等腰三角形的邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高.

二、教學感悟

課堂教學改革勢在必行，其目的是充分發揮學生的主觀能動性，提高課堂教學效率.老師與學生的思維要“吻合”，讓學生的思維、方法、一言一語都要展示出來，既能培養學生的思維開闊性，又能使學生理性地看待問題，重視解題思維的發生、發展、矯正、優化、提煉的過程，享受從起點到終點螺旋上升的解題過程.在課堂教學中要做到以下幾點.

1.喬治·波利亞的數學“解題表”明確提出：弄清問題.①已知是什么？未知是什么？②條件是什么？結論是什么？在這道題的分析過程中，直至第四個同學才真正審清題意，究其原因不外乎以下幾點：（1）學生以往的思維定勢、解題經驗、解題惰性心理導致審題不清，這在學生平時的考試中經常會發生，而且筆者從統計數據上看很多同學不太重視，認為是可以忽略不計的非智力因素；（2）條件與結論相關的隱含條件及與題目相關的定義定理性質的知識嫁接，特別是知識的最近發展區之外的內容不能靈活應用，或者是就題解題，就題論題，脫離了題目的本質.（3）教育學中提到的題目中出現的“弱條件”（所謂的“弱刺激”），學生往往沒有感知.

2.課堂上給予學生思考的權利，在教師的精心設計下，讓學生有強烈的參與欲望，積極主動地參與到對知識的學習和探究中，在教學過程中由學生提供有效的“線索”.正面線索與反面線索，捷徑思維線索與有待商榷的思維線索，甚至是錯誤的思維線索等都是我們在課堂教學中的第一手有效材料，有利于了解學情、正確評價、有的放矢地教學，引發學生展開對“案情”的思索與“偵破”，形成學生在活動、一題多解、多題一法、思維碰撞、優化完善中的思維高度活躍，最終高質量地理解與掌握知識.

3.學習數學要從定義出發，通過研究定義，同時對實際問題處理后反饋定義得到便于解題的性質、運算、可操作性的結論是數學邏輯思維的重要材料.“思維發展中質的變化的重要途徑是通過思維材料——‘新質要素的逐漸積累和‘舊質要素的不斷衰亡和改造而實現的”.事實上教學片斷中的前三位學生僅僅停留在思維發展的舊質要素，沒有迅速、靈活地應用新學知識處理問題，需要加強訓練.

4.正面教學與反面教學有機結合.學生通過獨立思考、討論、講述所展現的結果分為三類：①思維縝密，方法得當，表述完整；②思維正確但是操作起來繁瑣、牽涉到不必要的復雜計算，有待進一步改進或優化；③思路錯誤但是具有代表性的問題.這三類展示結果正是課堂需要解決的有效材料，第一類展示結果從正面上反映了學生扎實的基本功，是其他學生學習的好榜樣.第二類展示結果則是課堂的重點之一，是提高學生思維的最佳材料，在與學生共同探討的過程中充分探究思維的死角，優化思維方式，并形成良好的思維意識.第三類展示結果則是課堂的催化劑，有時正方與反方激烈辯論，在辯論中糾正思維的錯誤，學生印象更深刻.

參考文獻：

[1]王明安.課堂教學要為學生的學習創設空間，2012（12）（上旬）.

[2]數學方法與解題方法論.