促進學生學會學習的教學策略

心理學家羅杰斯指出：“在學習過程中獲得的不僅是知識，更重要的是獲得如何進行學習的方法或經驗”德國教育家第斯多惠說：“一個壞老師奉送給學生真理，一個好老師則教學生發現真理”為此，作為教師應該遵循學生的認知心理特點，引導學生參與知識的生成、發展和形成的過程，促使學生在獲得對數學的理解的同時，逐步學會學習和思考本文就“促進學生學會學習的教學策略”舉例說明

1激發學生主動發現、提出問題，讓學生“樂學”

學生的主動學習往往是從一個“問號”開始的因此，教師要善于根據學生的認知心理和已有的知識經驗，創設富有挑戰性的情境，讓學生從中主動發現問題、提出問題這樣一方面能促進學生主動投入知識的探究過程，因為解決自己提出的問題會讓學生真正感覺自己是課堂的主人，是學習的主人；另一方面也能培養學生的問題意識，有利于學生的可持續發展

案例1“向量的數量積”的定義

問題1前面我們學習了平面向量的加法、減法和數乘三種運算，接下來，大家認為該學習哪種運算呢？圖1

生（齊說）：乘法、除法

師：向量與向量能否“相乘”呢？

（學生在思考、困惑）

問題2一個物體在力F的作用下

發生了位移s，如圖1，那么該力對此

物體所做的功為多少？

生1∶W=|F||s|cosθ

問題3從上述模型，對定義“相乘”能否帶給你一點啟發？

學生開始議論，不少人說：就像做功一樣定義，向量a、b相乘：a·b=|a||b|cosθ

師：好的！我們一同來分析這樣定義是否合理？這樣“相乘”的結果是向量還是數量？

生2：數量

師：這個數與哪些量有關？

生3：與向量a、b的長度和角θ的大小有關

師：那么，角θ該如何規定呢？

生4：做功的角θ是指力的方向與位移方向的夾角，作用于同一個點

師：說得好而我們現在研究的是自由向量，該如何定義呢？

生（大部分）：也規定在同一個起點

教師贊賞后，師生一同具體說明，當θ∈[0°，90°）時，這個數為正；當θ∈（90°，180°]時，這個數為負；當θ=90°時這個數為0，這個數量含有了正、負、零三類實數

師：由此定義“相乘”，前后具有一致性，既有現實意義（物理的做功是模型之一），也比較合理

問題4哪位同學能給這種“相乘”取個合適的名字呢？

生（大部分）：就叫“相乘”吧

生5：說“相乘”不好（不妥），因為它比實數的相乘多了一個cosθ，為避免混淆，可以與結果聯系起來，我覺得叫“數量乘”合適

生（幾個學生）：叫“數量積”

師：太精彩了，這兩個名稱都不錯，為統一起見，就叫“數量積”吧！

（大家點頭表示贊同）

教學隨想 教師設置上述四個問題，不斷地激發學生發現問題、提出問題、解決問題問題1是從數學邏輯運算體系的需要，有了向量的加法、減法和數乘運算，自然要聯想到乘法和除法運算，但是否能進行“相乘”，對于學生而言是困難的；問題2回顧舊知識——物理做功的模型；問題3以上情境對于定義“相乘”能否帶給你一點啟發？是一句啟發式的問句，激發學生思考，期望他們有所發現學生從做功的定義類比遷移到兩個向量a、b“相乘”，對學生的定義該如何檢驗呢？因為定義無所謂對錯，所以智慧的教師通過一組對話，與學生一同探索定義的前后一致性和合理性，對角θ進行補充規定，完善了定義問題4是讓學生給探索結果取個名稱，有學生說，也有學生給予評價，從“相乘”運算的本質是數量得出“數量積”的名稱，這確實難能可貴，這是潛能得到激發的結果其實，下定義的過程就是揭示概念內涵的過程，筆者認為，讓學生參與定義，不僅符合學生的口味，而且記憶深刻，還能享受發現的樂趣，有益于培養學生的創新思維其實，教材中有不少概念，可以讓學生參與到自我定義、自我發現的建構中去，激發學生主動發現、提出問題，讓學生“樂學”

2引導學生參與知識的形成過程，讓學生“會學”

數學知識是無數前人苦苦探索、逐步積累和完善的產物，它的形成是一個漫長而動態的過程而教材呈現給我們的往往只是濃縮的、靜態的、結論性的內容作為教師，我們應該盡可能再現數學知識那曲折的探究過程，演繹數學知識那耐人尋味的形成歷程，引領學生積極主動參與這激動人心的探求之旅，實現學生認知過程與數學知識形成過程的統一，讓學生在掌握知識的同時，獲得更為寶貴的學習方法、能力，以及良好的情感體驗

案例2 “球面距離概念”的教學片斷

師：請同學們說說平面上A、B兩點間的距離概念

生1：連結AB的線段長度，如圖2所示（從A到B的最短路線）

師：長方體的面上有A、B兩點，請同

學們在長方體的面上畫出從A到B的路線，

如圖3所示

（學生都在面上連接A、B，并且連線中都與棱CD相交于E）

師：從A到B的路線就轉化為A→E→B，那么E的位置唯一確定嗎？

生2：不確定，有無數個點圖4

師：那么能否找到最短的一條線？

生3：展開表面，當B、E、A三點一線時為最短

師：這個在長方體面上連結AB的最短路線，也可以說是A、B在長方體面上的距離

師：（提出新問題）如圖4所示，如果A、B是球面上的兩點，那么如何找到最短路線？

生4：（1）如果把球看成是地球，當A、B在赤道上時，就是在赤道上從A到B的一段劣弧；（2）如果在同一經線上，同樣是經線上的一段劣弧

師：如果是在某一緯度上，那么是否是緯線上的

一段劣弧？（激發學生的認知沖突，學生紛紛探究，有的說是，有的舉出反例）

師：在平面上的距離是直線段，在長方體表面的最短路線是表面展成平面后是直線段；球面是不能展開成平面的幾何體，通過特例我們發現最短路線是圓弧（劣弧），那么在連接A、B的圓中，是哪個圓的劣弧最短？（再一次地激發學生的思維）

生5：在球面上任意兩點A、B都可以作一截面，并且截面是圓，問題轉化為過A、B的圓中，是否有一個圓，使得連結A、B的劣弧最短？

師：我們共同來探索

經過熱烈的討論，得到過A、B且圓心在球心的圓（稱為大圓），使得AB的劣弧長最短我們把這個劣弧長叫做A、B的球面距離

教學隨想案例中，教師通過“平面上A、B兩點間的距離”，到“長方體面上A、B兩點的距離”，再到“球面上A、B兩點的距離”的求法，以舊引新、由易到難、層層深入，引導學生通過不斷地觀察、類比、歸納、猜想、驗證等過程，使“球面距離概念”的學習成為“再創造”的過程這樣，學生積極探索，對概念理解深刻，充分體現了學生是學習的主人，教師是學生學習的組織者、引導者與合作者的理念，引導學生參與知識的形成過程，讓學生“會學”

3滲透數學思想和方法，讓學生“善學”

數學思想方法是對數學知識、方法、規律的一種本質認識，是數學的精髓，是學生形成良好認知結構的紐帶，是知識轉化成能力的橋梁數學思想方法要在概念、性質、法則、公式、公理、定理的學習過程中適時滲透，讓學生在掌握表層知識的同時，又能體驗到深層的數學思想方法，使學生思維產生質的飛躍在日常教學中，我們應該深入研讀教材，解壓教材，挖掘知識背后所蘊藏的豐富的數學思想方法，同時結合具體的教學內容著力滲透，用數學的理性光輝去滋養學生的學習，使之成為學生后續學習的寶貴養料和不竭動力

案例3“等比數列的前n項和”的教學片斷

求等比數列{an}的前n項和

時，設公比為q，由通項公式，得

待學生閱讀課本后，教師參與學生討論.

師：課本上是如何求前n項和公式的？同學們概括一下.

生：用q乘（2）式兩邊，得到與（2）式有很多相同項的等式

（2）（3）兩式相減就可得到前n項和公式.

師：噢！用q乘（2）式后產生了與（2）式有很多相同項的（3）式，為何要兩式相減？

生：因為兩式相減可把相同的項去掉，達到化簡的目的.

師：共有多少對相同的項？

生：噢…，共有n-1對.

師：只有用（2）、（3）兩式相減的方法才能消去相同項而求出Sn嗎，有沒有其他的方法？

生：還可用以下代入法：由（2）式得（3）同樣可得：

師：很好！那么，用（2）、（3）兩式相減和（2）代入 （3）這兩種方法，二者有沒有一定的聯系？

生：（通過思考、比較）這兩種方法的實質都是在消元，都可以把所有相同的項消去，減少了項數，達到化簡的目的，這兩個方法就是我們解二元一次方程組所用的加減消元法和代入消元法.

師：太棒了！你抓住了解決問題的本質，基于消元的考慮，還有沒有別的方法？

生：在上面的（1）式兩邊同乘以q，得，即

觀察式（1）、（5），都含有n-1對相同的項，因此，可用減法消元：

師：用減法進行消元時，你們看看有什么特點，怎樣來概括這種方法？

生：相同的項在兩個式子中的排列是錯位的，消元做減法，故稱為“錯位相減法”.

師：好的，“錯位相減法”不僅能求等比數列的前n項和，而且，它的思想方法還可以解決其他的問題，請同學們回想一下，等差數列的通項公式是如何推導出來的？

生：是通過觀察、概括的方法得到的，還沒有證明.

師：是的，還需要以后用數學歸納法來嚴格證明，那么，我們設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，同學們試一試，可不可以用“錯位相減法”求an？

生：（好奇、急切、專注地）設Sn為{an}的前n項和，即 ，

因為an-an-1=d（n≥2），所以將其列成兩行，使其錯位，再相減：

師：太漂亮了，大家給點掌聲！我們用“錯位相減法”把懸而未證的等差數列的通項公式給出了證明，使我們應用公式更加踏實！

教學隨想 案例中，教師從教材中“求等比數列的前n項和”的方法出發，引導學生探索了“求等比數列的前n項和”的加減消元法和代入消元法，分析了兩種方法的實質是“錯位相減法”，很自然地用“錯位相減法”證明了等差數列的通項公式這樣變換思維角度，打開思維通道，滲透數學思想和方法，讓學生“善學”

攀登頂峰是我們的目標，但沿途的風光也是不可錯過的美景課堂是師生分享智慧、共同成長的沃土，就讓我們引領學生在學習之路上且行且思，“樂學”、“會學”，進而“善學”

作者簡介趙緒昌（1963-）男，四川宣漢人， 中學特級教師，四川省學術和技術帶頭人，蘇步青數學教育獎和國務院政府特殊津貼獲得者，主要從事中學數學教學研究和中小學教育科學研究.