問題哪得新如許，為有高數(shù)滲透來

“高觀點”這一重要數(shù)學(xué)思想發(fā)端于19世紀(jì)末20世紀(jì)初的一場數(shù)學(xué)教育改革運動——克萊茵·貝利運動德國著名數(shù)學(xué)家克萊因在其著作《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》提到：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角（高等數(shù)學(xué)）來審視、理解數(shù)學(xué)問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單；有許多初等數(shù)學(xué)的現(xiàn)象只有在非初等的理論結(jié)構(gòu)內(nèi)才能深刻地理解所以當(dāng)下的高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)把初等數(shù)學(xué)問題置于高等數(shù)學(xué)的博大體系之中，以居高臨下，或?qū)⒏叩葦?shù)學(xué)過分抽象的知識進(jìn)行初等化處理，以舉重若輕；如果只在初等數(shù)學(xué)的視域里看問題和理解問題，就會“不識廬山真面目，只緣身在此山中.

1“高觀點”在新課程標(biāo)準(zhǔn)中的體現(xiàn)

“高觀點”是指用高等數(shù)學(xué)的知識、思想和方法來透視、剖析和解決初等數(shù)學(xué)的問題這里所說的高等數(shù)學(xué)知識指的是能夠借助實例和直觀為中學(xué)生所接受的知識，突出思想和方法， 強調(diào)理解和應(yīng)用， 不追求嚴(yán)格的證明和邏輯推理現(xiàn)行的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明顯加大了高等數(shù)學(xué)的知識含量，而且主要以系列、模塊和專題的形式呈現(xiàn)例如，系列2中的導(dǎo)數(shù)、數(shù)系的擴充和空間向量及其應(yīng)用；系列3和系列4幾乎都是高等數(shù)學(xué)內(nèi)容，所涉及的內(nèi)容有數(shù)學(xué)史、信息安全與密碼、球面上的幾何、對稱與群、歐拉公式與閉曲面分類、矩陣與變換、數(shù)列與差分、初等數(shù)論初步、優(yōu)選法與試驗設(shè)計初步、統(tǒng)籌法與圖論、開關(guān)電路與布爾代數(shù)等等，有些專題是中學(xué)課程某些內(nèi)容的延伸，有些專題是通過典型實例介紹數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用方法，對學(xué)生來說，不僅開拓了視野，增強了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，又能得到學(xué)習(xí)方法和思維方法的改善.

2“高觀點”問題與高考的選拔要求有很強的適切性

“高觀點”問題是以高等數(shù)學(xué)中的知識、思想和方法為背景但用初等數(shù)學(xué)的語言來表述的問題，它有以下幾條非常顯著的特征.

21高角度問題的設(shè)計源于高等數(shù)學(xué)；立足初、高等數(shù)學(xué)的銜接點，以高等數(shù)學(xué)符號、概念

直接出現(xiàn)，或以高等數(shù)學(xué)的概念、定理作為依托融于初等數(shù)學(xué)知識中.

22低落點問題的設(shè)計雖源于高等數(shù)學(xué)，但解決的方法卻是中學(xué)所學(xué)的初等數(shù)學(xué)知識，但對學(xué)生思維的抽象性、邏輯性以及學(xué)生的理解力和自學(xué)能力提出了更高的要求.

23重能力問題的設(shè)計在考查知識的基礎(chǔ)上，能寬角度、多觀點、深層次地考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)理性思維以及繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能.

高考是為高等學(xué)校選拔人才，為學(xué)生進(jìn)入高校學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備高考強調(diào)的“以能力立意”，就是以數(shù)學(xué)知識為載體，從問題入手，把握學(xué)科的整體意義，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點組織材料，側(cè)重體現(xiàn)對知識的理解和應(yīng)用，尤其是綜合和靈活的應(yīng)用而高等數(shù)學(xué)的一些內(nèi)容可以提供一個比較公平又有區(qū)分度的知識背景，是考查學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)潛能的良好素材在高考中設(shè)置高等數(shù)學(xué)背景的題目，讓學(xué)生用已有的方法和知識，去分析一些情境的特點，找出已知和未知的聯(lián)系，重新組織若干已有規(guī)則，形成新的規(guī)則，嘗試解決新的問題，這樣的探索可以很好地考查學(xué)生的獨創(chuàng)性、知識遷移的能力、理性思維的廣度和深度以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能.

32013年高考高觀點試題的評析

在2013年全國各地高考數(shù)學(xué)試題中，有許多背景新、設(shè)問巧的“高觀點”問題，它們幾乎都是試卷上各類題型的壓軸題，倍受命題者的青睞如果通過數(shù)學(xué)手段對這些數(shù)學(xué)試題進(jìn)行合理的分析，可以發(fā)現(xiàn)“高觀點”問題的命制方式和方法并不是高等數(shù)學(xué)問題的簡單下嫁，而是問題的背景源于高等數(shù)學(xué)，命題者通過初等化的處理與巧妙設(shè)計潛移默化地滲透高等數(shù)學(xué)的一些觀點與方法，據(jù)不完全歸納，“高觀點”問題的命制方法可以包括引用法，初化法，轉(zhuǎn)語法，演變法等，下面就結(jié)合2013年全國各地高考數(shù)學(xué)試題，談?wù)劯鞣N方法在試題命制中的體現(xiàn)，并提出一些粗淺的應(yīng)對策略，愿能為新高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)提供一些新的生長點.

31引用法引用法是編制試題的一個常用方法，是指將高等數(shù)學(xué)中某些簡單的命題、概念、定理移用為高考數(shù)學(xué)試題的一種方法在高等數(shù)學(xué)中，很多重要的定義、定理都建立在初等數(shù)學(xué)知識之上，并且需要或者能夠用初等數(shù)學(xué)知識來解決的，這些高初知識的銜接處為引用提供了試題命制的環(huán)境和條件.

311引入概念在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，往往會接觸很多抽象化概念，而這些抽象化概念往往與高中知識聯(lián)系比較緊密，是高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)知識的銜接點.

命制背景“正對數(shù)”的定義源于學(xué)生比較熟悉的對數(shù)知識，lnx取正值時保持原樣，lnx取負(fù)值時歸零，但是正對數(shù)和對數(shù)又有所區(qū)別，所以學(xué)生要在正對數(shù)和對數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系中學(xué)會辨析，問題的命制體現(xiàn)了“源于課本，高于課本，活于課本”的思想和理念，對a，b分大于1和大于0小于1的討論思想是解決問題的關(guān)鍵點和落腳點，本問題能很好地考查學(xué)生潛在的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新意識.

例4（2013年湖北卷 文17）在平面直角坐標(biāo)系中，若點P（x，y）的坐標(biāo)x，y均為整數(shù)，則稱點P為格點 若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形 格點多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點數(shù)記為N，邊界上的格點數(shù)記為L 例如圖中△ABC是格點三角形，對應(yīng)的S=1，N=0，L=4.

（Ⅰ）圖中格點四邊形DEFG對應(yīng)的S，N，L分別是；

（Ⅱ）已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c，其中a，b，c為常數(shù) 若某格點多邊形對應(yīng)的N=71，L=18， 則S=（用數(shù)值作答）.

命制背景本題直接提出若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形格點多邊形有許多重要的性質(zhì)，例如：①格點多邊形的面積必為整數(shù)或半整數(shù)（奇數(shù)的一半）.

②格點關(guān)于格點的對稱點為格點③設(shè)某格點多邊形內(nèi)部有格點a個，格點多邊形的邊上有格點b個，則格點多邊形面積的皮克公式為S=a+b2-1④格點正多邊形只能是正方形.

⑤格點三角形邊界上無其他格點，內(nèi)部有一個格點，則該點為此三角形的重心本題第（1）小題的命制是考查學(xué)生對格點多邊形的面積以及格點數(shù)的理解，比較簡單；第（2）小題的命制是直接引用格點多邊形面積的皮克公式S=a+b2-1作為高考試題的已知，學(xué)生只要選定三個特殊的格點多邊形，然后用待定系數(shù)的方法加以解決即可.

32初化法

初化法指的是對高等數(shù)學(xué)中的問題、概念、原理的特殊化，具體化，低維化使之成為具體的初等化內(nèi)容初化法是命制題目的一個有效方法，它使得高等數(shù)學(xué)中的抽象的問題變成具體的、適合中學(xué)生做的問題，有較強的綜合性和新穎性.

321改變形式將一些高等數(shù)學(xué)中的命題或原理的條件和結(jié)論加以變化（強化或添加新的設(shè)問），或者選取新的角度變化原有的承載方式.

例5（2013年四川卷 理15）設(shè)P1，P2，…，Pn為平面α內(nèi)的n個點在平面α內(nèi)的所有點中，若點P到點P1，P2，…，Pn的距離之和最小，則稱點P為點P1，P2，…，Pn的一個“中位點”例如，線段AB上的任意點都是端點A，B的中位點現(xiàn)有下列命題：

①若三個點A，B，C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點；

②直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點；

③若四個點A，B，C，D共線，則它們的中位點存在且唯一；

④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點.

其中的真命題是（寫出所有真命題的序號）

命制背景本題所提出的“中位點”的概念源于“費馬點”，即在一個三角形中，到三個頂點距離之和最小的點叫做這個三角形的費馬點如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于120°，這個內(nèi)角的頂點就是費馬點；如果三個內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對三邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點在凸四邊形中，費馬點為兩對角線的交點在凹四邊形中，費馬點為凹頂點本問題在“費馬點”的意義不變的情況下進(jìn)行了適當(dāng)?shù)耐貜V，具有一般性但是學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上解決這個問題不會很難，但是如果知曉“費馬點”的上述特征，那么判斷②和④的正確性就非常容易了.

322特殊化從一般問題出發(fā)，通過特殊化手段命制出特殊的問題.

33轉(zhuǎn)語法

331高等語言初等化

“高數(shù)語言初等化”是指改變高等數(shù)學(xué)中的概念和定理的表述方式，將其轉(zhuǎn)化為等價的初等數(shù)學(xué)語言，借此回避高數(shù)概念，將高等數(shù)學(xué)語言的思想蘊藏在初等數(shù)學(xué)語言中.

332初等語言高等化

“初等語言高等化”是借用高等數(shù)學(xué)語言表述初等內(nèi)容，考核具有高等數(shù)學(xué)背景的初數(shù)知識（思想方法）等

命制背景本題不是考查某個確定的高等數(shù)學(xué)概念，但是語言形式的呈現(xiàn)上是運用高等數(shù)學(xué)的形式 運用矩陣語言描述數(shù)陣，運用抽象的符號語言揭示數(shù)陣元素的特征，具有高度的概括性和一般性，學(xué)生如果理解抽象語言背后所表達(dá)的初等意蘊就可以解決.

命制背景上面兩題以新定義的關(guān)系“B=fπ（A）”和運算“∧”和“∨”為背景，構(gòu)造一個新的系統(tǒng)，無實質(zhì)的高等數(shù)學(xué)概念和定理，僅僅運用語言上模仿高等數(shù)學(xué)群域系統(tǒng)的定義方式諸如這樣的高考試題很多，2000年春季高考題目首次出現(xiàn)新定義以來，高考試題中不斷出現(xiàn)新定義的題目，這樣題目背景比較新穎，能有效考查學(xué)生創(chuàng)新能力，又很難在課本上找到原型.

以上我們總結(jié)了幾種高等數(shù)學(xué)背景試題的編制方法，其實一道試題的編制并不是單獨利用某一種方法，在實際的命題中這四種方法沒有嚴(yán)格界限，會有交叉使用也會進(jìn)行有機的組合.

4對策與建議

“高觀點”問題角度高，居高臨下，匠心獨用，思路靈活，網(wǎng)絡(luò)性強，但落點低，所命題

目即試題的設(shè)計來源于高等數(shù)學(xué)或者模仿高等數(shù)學(xué)的敘述方式，但解決的方法是中學(xué)所學(xué)的初等數(shù)學(xué)知識，所以沒有任何將高等數(shù)學(xué)引進(jìn)高考的誤導(dǎo)概言之，作為一名高中教師，不僅要通曉教材和解題技巧，還應(yīng)掌握高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，多運用“高觀點”居高臨下地分析和處理“高觀點”下的高中數(shù)學(xué)問題，運用“高觀點”來分析、研究、整理高中數(shù)學(xué)教材，并在高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的銜接點嘗試用高等數(shù)學(xué)知識編一些不脫離中學(xué)實際的“高觀點”題，應(yīng)用到中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中去，對學(xué)生分析問題、解決問題的能力培養(yǎng)、探究性學(xué)習(xí)能力的提高，數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會，數(shù)學(xué)視域的開闊、思維品質(zhì)的培養(yǎng)以及學(xué)生學(xué)習(xí)成績的提高都有一定的促進(jìn)作用，另外也促進(jìn)了數(shù)學(xué)教師的專業(yè)化成長具言之，主要有以下幾點建議：

1要改變課堂教學(xué)重結(jié)論輕過程的做法，對知識形成的來龍去脈要搞清楚，需進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生獨立分析問題、判斷問題、解決問題的能力.

2要改變解題教學(xué)過分追求模式化、程式化的做法，不能熱衷于歸納題型、記憶方法，我們看到，靠機械訓(xùn)練，對于這些高觀點題是難以應(yīng)對的.

3要改變綜合復(fù)習(xí)中的“題海戰(zhàn)術(shù)”、“資源戰(zhàn)術(shù)”、“頻繁考試戰(zhàn)術(shù)”，要引導(dǎo)學(xué)生不僅追求知識的覆蓋面，還需認(rèn)真構(gòu)建數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，尋求知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點，只有這樣，才能不斷發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，達(dá)到以不變應(yīng)萬變.

4在不脫離中學(xué)數(shù)學(xué)的課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的前提下，教師可以對重要的概念和知識的聯(lián)系上做必要的拓寬教師倘若能站在高等數(shù)學(xué)的角度，溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，居高臨下地去釋疑，將會更有利于學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的精髓及其后續(xù)發(fā)展.

5將高等數(shù)學(xué)的理論應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)，使其內(nèi)在的聯(lián)系得以體現(xiàn)，進(jìn)而去指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)的解題教學(xué)工作，其優(yōu)點體現(xiàn)在這種理論指導(dǎo)更具一般性、歸納性，不需要去追求中學(xué)數(shù)學(xué)解題中過多的技巧，對加強中學(xué)解題的訓(xùn)練有著普遍的實際意義.

6數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)抽象思維的產(chǎn)物，是數(shù)學(xué)交流與傳播的媒介，是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的工具，是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)部動力對數(shù)學(xué)符號語言的考查能夠衡量一個人的數(shù)學(xué)能力，因此需引起足夠的重視，在平時的教學(xué)中應(yīng)該注重對學(xué)生進(jìn)行符號語言的閱讀、理解、轉(zhuǎn)化、表述、探究、調(diào)控能力的培養(yǎng).

作者簡介方治，男，中共黨員，1978年12月出生，中學(xué)高級教師，浙江省教壇新秀、浙江省優(yōu)秀教練員，有多篇論文發(fā)表或在國家、省、地、市級獲獎