噴灑農藥：圓錐體學習的新素材

唐恒鈞 張紅

基金項目：浙江省教科規劃2012年度高校研究課題“多元文化視野中數學課程資源開發研究”（SCG1）；教育部人文社會科學研究規劃基金項目“多元文化數學課程的理論與實踐研究”（ 項目編號為 10YJA880179）

數學教學需要關注學生獨特的背景與文化《義務教育數學課程標準（2011版）》在基本理念中就明確指出：“課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生的體驗與理解、思考與探索”[1]《普通高中數學課程標準（實驗）》也在基本理念中明確指出：“高中數學課程應力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力”[2]

基于此，本文將嘗試挖掘農村生活中噴灑農藥的數學元素，并通過三個子任務的探索實現數學與日常生活的聯系

1圓錐體的基本認識：噴農藥時形成的水柱

噴農藥時形成的水柱可以近似地抽象成圓錐體（如圖1）教師可以引導農村學生借助這一生活中常見的現象來認識圓錐體的形狀及幾何元素比如水柱由一個洞口噴灑出來，出水口即圓錐的頂點如果是豎直地往水平地面噴灑農藥，那么水柱邊緣所形成的面即是圓錐的側面，水柱邊緣的水形成圓錐的母線，噴到地面所形成的圓盤即是圓錐的底面，而由出水口作地面的垂線則是圓錐的軸，且垂足是圓錐底面的圓心等以此為基礎，還可以引導學生探索圓錐的一些基本幾何特征：

底面：是一個圓；

軸：經過頂點與底面的圓心；

母線：無數條，且長度相等、交于頂點、與軸的夾角（α）相等

這樣做至少有兩方面的意義首先，密切了學生的日常生活經驗與數學學習的關系，使學生感受到生活中處處有數學，體會到數學的文化價值其次，強調用農村學生生活中的經驗理解數學，使數學學習變得現實而容易正如著名數學教育家弗賴登塔爾所指出的[3]，數學來源于現實，存在于現實，并且應用于現實，而且每個學生有各自不同的“數學現實” 數學教師的任務之一是幫助學生構造數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現實農村生活經驗是農村中學生數學現實的重要組成部分，為理解學校數學提供了具體而直觀的現實模型，同時數學的理解又反過來深化了對現實模型的認識

2水柱圓錐體特點的進一步探索

21特殊的系列圓錐體

進一步，教師可以引導學生去討論以下問題

問題1：隨著出水口與地面的高度的變化形成了一系列的圓錐體（如圖2），這些圓錐體之間有什么樣的關系？

對于這個問題，學生首先會思考的是一個圓錐體中有哪些定量關系根據第一階段的學習，學生容易得出如下關系：

化形成的系列圓錐體

然后再來考慮這一系列的圓錐體之間的關系學生會發現，這些圓錐體的共同特征是α不變，因此，l、r、S底與h成正比即當h增大時，l、r、S底均增大

這一問題對于大部分學生而言其實并不難，其教育價值在于使學生的思考更有脈絡，使學生的數學思維保持在較高的水平在第一階段，學生已經對圓錐的幾何特征有所認識，特別是已能通過底面、側面、母線、軸、頂點等幾何元素來認識幾何體，那進一步也是自然會思考的問題是這些幾何元素之間的關系，緊接著又會思考當h變化時，其他元素又會如何變化，如何用定量的方式來刻畫這些變化等問題根據Stein和Smith提出的數學任務的四種認知水平可以發現，該學習活動暗示有一個幾何認識的基本框架（從單一幾何元素的認識到多個幾何元素間的關系；從定性思考到定量思考等），同時又需要學生付出一定程度的認知努力，因而屬于高認知水平中的有聯系程序型任務[4]其次，這一問題的思考還有助于發展學生的數學發現能力和數學概念、命題的建構能力在上述問題的解決過程中，學生會發現不管高度怎么變，母線與軸的夾角不變，這也是這一系列圓錐體的本質聯系事實上，數學的建構在一定程度表現為發現“變化中的不變性”的過程，上述學習活動正好體現了這一過程

22截面問題

以上討論的是將農藥豎直灑到水平地面的情況，那自然就要考慮到地面是一個傾斜平面時的情況在不考慮水的重力對水柱形狀的影響的情況下，這便涉及了更復雜的圓錐截面問題（如圖3），也即是數學史上重要的圓錐截面問題圓錐截面是在公元前3世紀得出的，它們為17世紀的數學家們打下了堅實的基礎，他們開始整理出與由圓錐截面得到的曲線相關的各種原理[5]在不考慮水的重力的情況下，當截面位置不同時將會出現橢圓、雙曲線的一支、拋物線、圓、直線、點等多種類型

這樣做的目的不僅使學生的數學思考更有背景與脈絡，滲透了一般化、分類等重要的數學思想，同時還在于將生活中的數學問題與數學史相聯接，增強數學學習的歷史厚重感，使學生因為自己所研究的數學問題在歷史上的重要性而感到自豪

對于數學基礎較好、并對數學有強烈探究欲望的學生，教師可以在介紹歷史背景之后，引導學生思考與討論各種類型在什么情況下發生這樣做就為學生構建了一個學習的“思考空間”[6]，學生可以在其中討論困惑、猜想、解決方法、學習困難，并發展他們的批判意識和自主學習能力

而對于數學基礎一般的學生，可以通過圖形、模型等直觀而動態地感受到當截面位置變化時出現的不同的幾何圖形這一活動可以教師展示給學生看，也可以由教師引導學生自己去操作感受，但不去深究背后的數學原理

3回歸生活：灑農藥過程中的數學意識

通過上述問題，學生對基于這一現實背景的圓錐體問題已有較為深刻的理解，但還可以引導學生回到現實

首先，植物被噴到的農藥量與高度有關在很多人的觀念中，單位面積的植物噴灑到的農藥量只與農藥的濃度、噴灑時間有關，而通過上述數學問題的研究，還與出水口到植物的高度有關這是因為單位時間從出水口噴出的農藥量是恒定的，而噴灑到的面積與出水口到植物的高度成正比，因此單位面積的植物噴灑到的農藥量與出水口到植物的高度成反比

其次，多旋噴霧器要選擇適當的高度才能使噴灑效果較好隨著農業科技的發展，多旋的噴霧器已變得越來越普及但出水口離植物多少高度時噴灑效果最理想？既沒有被漏灑又沒有浪費？

設兩個出水口的間距為d，則當兩個圓錐的底面相切時，既不重復灑藥又不漏灑即2htanα=d，所以h=12dcotα

上述活動使學生感受到數學的現實應用價值，使學生形成用數學理性地組織生活的意識與能力，同時還可以為學生與家長間的交流提供話題筆者在對一些農村學生的調研發現，許多學生樂于將在學校所學的數學知識應用于日常生活中，特別是，當這些知識能指導家長的農業活動時他們感到特別自豪而這些積極情感又會反過來促使學生更加投入數學學習

總之，正如Teles所指出的，將學校數學與學生的日常生活、社會生活聯系在一起，將對學生的數學學習起到重要的作用[7]這就需要教師根據教學內容、學生的需要挖掘日常生活、社會生活中的數學元素，開發適合的教學資源并加以利用

參考文獻

[1]教育部義務教育數學課程標準（2011版）[S]北京：北京師范大學出版社，2012：2

[2]教育部普通高中數學課程標準（實驗）[S]北京：人民教育出版社，2004：3

[3]丁爾升，現代數學課程論[M]南京：江蘇教育出版社，1997：332

[4]Stein， MK， Smith，MS， Henningsen， MA & Sliver， EA著 李忠如譯 實施初中數學課程標準的教學案例： 匹茲堡大學QUASAR研究成果[M] 上海： 上海教育出版社，2001：9

[5]帕帕斯圓錐截面[J]數學教學通訊，2010，（13）

[6]Perret-Clermont， A-N Thinking spaces of the young In A-N Perret-Clermont， C Pontecorvo， LResnick， etc（Eds）， Joining society： Social interaction and learning in adolescenceand youth Cambridge： Cambridge University Press， 2004： 3-10

[7]Teles， L， & César， M （2005） Handicrafts performing life In M Bosch （Ed）， CERME 4 proceedings SantFeliu de Guíxols： Universitat Ramon Llull [On line： http：//ermewebfreefr/CERME4/

作者簡介唐恒鈞，男，1979年生，浙江師范大學講師，教育學博士