高中數學“算法初步”的教學探究

木世杰 孫雪梅 朱維宗

1引言

隨著現代信息技術飛速發展，算法在科學技術、社會發展、生活中發揮著越來越大的作用，算法思想已經成為現代人應具備的一種數學素養開設“算法初步”，利于培養學生分析問題和解決問題的能力，利于提高學生思維的邏輯性、條理性和精確性隨著新課程的全面深入，關于算法的“教與學”的問題已經引起了師生的廣泛關注由于算法的課程內容對于很多數學老師來說是比較陌生的，在具體實踐中又沒有現成的經驗可以“拿來我用”，因此給教師的教學帶來了全新的挑戰

二十世紀末，計算機大師DEKnoth提出“計算機科學就是研究算法的學問”，“控制計算機運行的任何程序至少是一個‘半算法，而每種算法都可以轉化為一系列數學運算或邏輯判斷”[1]由此可見，“算法”既是數學科學的重要基礎，也是計算機科學的核心，算法與計算機技術有著緊密的聯系因此，可采用 “數學與信息技術相結合”的教學方式來進行高中“算法初步”的教學

2“數學與信息技術相結合”教學方式

“數學與信息技術相結合”教學方式的指導思想：一、在數學課堂上，注重對算法理論知識的解讀和傳授；二、在信息技術課堂上，結合具體的案例讓學生體會算法思想在數學問題解決中的作用，并且通過及時的上機體驗，幫助學生更好地掌握算法語句，同時增強學生學習算法的興趣

“數學與信息技術相結合”教學方式的基本環節：情境導入，激疑引趣——探究交流，分析算法——講練結合，上機驗證——類比遷移，歸納概括

“情境導入，激疑引趣”是前提，這對引導學生進行數學探究起著思維導向，激發學習動機的作用如讓學生從實例情境“煮米線”的過程入手，指出“做任何事情，都是在一定的條件下按某種順序執行的一系列操作”通過這樣的引入方式，介紹算法的含義以及“step by step”的算法思想就水到渠成另外，由于學生第一次接觸算法，對于某些專用術語，教學中可采用通俗易懂、形象有趣的語言進行教學，可幫助學生理解抽象術語，如用“峰回路轉”來描述循環結構的流程圖

“探究交流，分析算法”是核心教學中要注重師生、生生之間的交流討論讓學生暢所欲言，發現奇思妙想，最后找出最佳算法在綜合實踐課的案例學習中，不再是由教師講解，而是讓學生自己上臺講解

“講練結合，上機驗證”是手段了解算法的知識點后，學生未必能夠牢固掌握，只有通過適量地“練”才能鞏固因而在課堂上安排適當的練習，要求學生即時上機體驗，通過在計算機上的實踐驗證，理解和掌握算法，體現數學課程與信息技術課程的整合

“類比遷移，歸納概括”是關鍵“算法初步”有效教學的一個重要指標，是學生的算法學習能否從一個問題遷移到另一個問題，從一個情境遷移到另一個情境算法中的一個很重要的思想是類比思想，即把算法問題進行歸類，從而揭示出問題中的共同本質在教學中，教師要注意引導學生善于認識不同問題間的相互關系，并依據已有的知識和經驗去概括、反映事物的本質特征，類比聯想事物之間共同的要素，加強新舊知識之間的聯系認識越深刻，概括水平也就越高，遷移過程越順利，遷移的效果也就越好解決一類算法問題后要及時歸納概括，從而利于學生掌握算法的邏輯結構、加深對算法知識點的理解，加速算法技能的形成

使用“數學與信息技術相結合”教學方式進行“算法初步”的學習，并非是要學生產生算法就是計算機技術的錯覺，而是要讓學生結合計算機技術，以更直觀的形式學習算法，通過及時的上機體驗，加深對算法理論知識的理解、對算法思想的感受以及對程序框圖設計的掌握使學生不僅有理性認識，而且也有相應的感性認識，通過上機實踐，學生能更切實地感受到算法的奇妙，從而激發學生學習算法的興趣

3應用“數學與信息技術相結合”的教學方式進行教學的教學案例

案例秦九韶算法（選自人教版普通高中課程標準實驗教科書必修3第一章《算法初步》的13節《算法案例》）

教學過程片斷（實錄）：

（1）問題導入，激疑引趣

提出問題：設計求多項式當x=x0的值的算法，并寫出程序，統計所做的計算的種類及計算次數

（意圖使學生在自己操作的過程中進一步認識問題本身及其算法）

學生提出一般的解決方案，如：當x=5時，

教師點評上述算法一共做了15次乘法運算，5次加法運算；優點是簡單，易懂，缺點是不通用，不能解決任意多項式的求值問題，而且計算效率不高

問：有沒有更高效的算法？

（意圖幫助學生建立改進算法、提高計算效率的意識）

師：計算x的冪時，可以利用前面的計算結果，以減少計算量，即先計算x2再依次算x2x （x2x）x，（（x2）x）x的值，這樣計算上述多項式的值，一共需要多少次乘法，多少次加法？

生：9次乘法運算，5次加法

（2）探究交流，分析算法

師：第二次做法與第一種相比，乘法的運算次數減少了，因而可以提高速度，而且對于計算機來說，做一次乘法所需的運算時間比做一次加法要長得多，因此第二種做法可以更快地得到結果

師：能否探索更好的算法，來解決任一多項式的求值問題？

（意圖進一步探索有一般意義的算法）

教師引導學生把多項式變形為：

師：從內到外，把每一個括號都看成一個常數，那么變形后的式子 中有哪一些“一次式”？x的系數依次都是什么？

師：若將x的值代入變形后的式子中，那么求值的計算過程是怎么樣的

（意圖引導學生發現規律，歸納概括）

師：計算的過程可以列表表示為（如表1所示）：

生：將變形前x的第一個系數乘以x的值，加上變形前第二個系數，得到一個新的系數；將此系數再乘以x的值，再加上變形前的第三個系數，又得到一個新的系數；繼續對新系數做上面的變換直到與變形前的最后一個系數相加，得到一個新的系數為止，這個系數即為所求的多項式的值

師：指出這種算法就是“秦九韶算法”（同時介紹秦九韶）

師：用秦九韶算法求多項式與其組成有直接聯系嗎？用秦九韶算法計算上述多項式的值，需要多少次加法運算？

（意圖引導學生分析秦九韶算法的特點）

教師引導學生發現在求值的過程中，計算只與多項式的系數有關，讓學生統計所進行的乘法和加法運算的次數

生：共做了5次乘法運算，5次加法運算

（3）講練結合，上機驗證

師：秦九韶算法適用于一般的多項式f（x）的求值問題嗎？

（意圖引出秦九韶算法的通用性的特點）

師：怎樣用秦九韶算法求一般的多項式f（x）當x為任意實數時的值？

生：先將多項式變形為f（x）然后由內向外逐層計算一次多項式的值

教師引導學生思考：把n次多項式的求值問題轉化成求n個一次多項式的值的問題，即求

生：n次乘法運算，n次加法運算

師：觀察上述秦九韶算法中的n個一次式，可見vk的計算要用到vk-1的值若令v0=an，可以得到下面的公式：

這是一個在秦九韶算法中反復執行的步驟，此可以用循環結構來實現

算法步驟如下：

第一步：輸入多項式次數n、最高次項的系數an和x的值

第二步：將v的值初始化為an，將i的值初始化為n-1

第三步：輸入i次項的系數ai

第五步：判斷i是否大于或等于0，若是，則返回第三步；否則，輸出多項式的值v

師：怎樣用程序框圖表示秦九韶算法？

（意圖引導學生認識秦九韶算法中的循環過程，并用算法的循環結構來表示這個過程）

程序框圖：（略）

……

例設計利用秦九韶算法計算5次多項式

程序框圖：（略）

練習：利用程序框圖試編寫vb程序并在計算機上調試自己的程序

……

（4）類比遷移，歸納概括

師（小結）：通過對秦九韶算法的學習，你對算法本身有哪些進一步的認識

（意圖引導學生歸納概括，促進知識的正遷移）

生1：算法具有通用性的特點，可以解決一類問題

生2：解決同一類問題，可以有不同的算法，但計算的效率是不同的，應該選擇高效的算法

生3：算法的種類雖多，但三種邏輯結構可以有效地表達各種算法

……

評析這是一個經典的算法案例之一，旨在讓學生在學習了算法的初步知識，理解了表示算法的算法步驟、程序框圖和三種不同的程序方式后，結合典型算法案例，讓學生經歷算法解決的全過程，體驗算法在解決問題中的重要作用，進一步體會算法的基本思想，發展有條理地思考與數學表達能力算法本身就是與具體問題結合在一起的，如果只空講理論，既不能使學生真正理解算法，也不能針對具體問題設計出正確的算法，而從典型的、學生熟悉的算法模型中挖掘、提煉出來的思想和方法，更容易被學生接受由于案例中涉及的數據計算量較大，在計算機上對該算法進行校驗可以使學生更直觀地感受算法思想，激發學生學習算法的興趣加深了對算法概念實質的理解，增強了對算法思想的感受，提高了對程序框圖的設計能力

4教學建議

算法是從問題到用計算機求解的中間環節，這個環節需要通過人的邏輯思維來完成下圖說明了用計算機求解算法問題中數學和信息科學的關系

用計算機求解算法問題中數學與信息科學的關系

正因為算法處在問題和計算機求解的中間，所以，可從數學和信息科學兩個角度來研究算法但從數學和信息科學研究算法的側重是不同的，從數學方面研究算法側重于算法設計

41正確區分算法教學和程序語言教學的不同設計的算法正確與否要通過編程并且運行程序進行驗證，借助于程序語言可以使算法得以實現；反之要設計程序就必須弄清算法原理算法教學是程序語言教學的基礎，程序語言教學是算法教學必要的延續，兩者相輔相成然而，兩者在教學重點上有所不同，算法的教學重點在于：體現算法的思想——程序化思想，培養學生的邏輯思維能力，培養學生思維的條理性；而程序語言教學卻是計算機語言教學，教學重點是讓學生學會編程兩者各有特色，相互聯系，在算法教學時可以充分結合程序語言教學，鼓勵學生盡可能把自己的算法在計算機上實現，但不可本末倒置，不要把算法內容簡單處理成程序語言的學習或程序設計

42選取恰當的實例，激發學生學習算法的興趣在算法教學中，要注意循序漸進，理論性不要太強，最好的方式就是結合實例進行教學選取例子時要注意把握以下幾點：

選取的例子應該來自學生的生活實踐，或是在數學課上所學過的例如，在介紹while循環語句時，可以選擇數學1中的二分法，便于承前啟后，導入新知識

選取的例子最好有豐富的背景，有趣味性在中國的《九章算術》和《孫子算經》等古代數學著作中有許多有趣的問題，可供選擇如著名的“雞兔同籠”問題，該例既有趣味性也有代表性，利用此例引入算法含義，能夠提高學生的學習興趣在介紹輸入輸出語句時，可進一步利用此例，問能否設計一個二元一次方程組的通用算法來啟發學生思考，從而引出輸入輸出語句的教學

選取的例子的算理不要太難，以貼近現實生活為佳，隨著學生學習的深入，可以適當提高例子的難度開始學習算法時，選取的例子太難容易使學生產生厭學心理所選例子既要有蘊涵豐富的算法思想，又要能夠貼近生活，讓學生能從中輕松地學習算法的“三基”——基本思想，基本結構以及基本語句如在剛開始上算法課時，可以選擇 “給出求1×2×3×4×5×6的一個算法”的例子，該例子理解起來較簡單，卻又蘊涵著算法的基本思想——程序化解題思想

43利用計算機輔助學生學習算法，讓學生能將自己寫出的算法通過計算機得以實現，使學生能夠看到自己的創作成果，激發學生學習算法的興趣數學教師也要在計算機教師的幫助和配合下，深入研究算法相關內容，引領學生把具體問題的程序框圖轉化為程序語句，在應用環節上進一步體會和呈現算法思想和算法的教育價值。