研題的思考與實(shí)踐

當(dāng)代美國著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（Paul Halmos）認(rèn)為，問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)真正的組成部分是問題和解著名數(shù)學(xué)教育家波利亞（George Polya）指出，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練，要把解題作為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)才能和教會他們思考的一種手段和途徑掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題，不僅善于解一些模式題，而且善于解一些要求獨(dú)立思考，思路合理，見解獨(dú)到和有發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的題.

作為教育任務(wù)的研題，主要包括研究怎樣命題、怎樣解題、怎樣講題這三個(gè)方面在基于學(xué)生、促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的指導(dǎo)思想下形成一個(gè)有機(jī)的整體研究怎樣命題，有助于提高教師提出問題的能力，為培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)通過命題，研究題目的來龍去脈，教師學(xué)會命題的方法研究怎樣解題，有利于提高教師解題能力，同時(shí)預(yù)設(shè)、估計(jì)學(xué)生可能采用的各種解題方法，為講題、科學(xué)指導(dǎo)學(xué)生解題作好必要的準(zhǔn)備研究怎樣講題，有助于提升教師把學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)榻逃螒B(tài)的數(shù)學(xué)的能力，通過講題教學(xué)實(shí)踐活動，豐富教師的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識（MPCK），增長教學(xué)的實(shí)踐性智慧從命題、解題、講題這三個(gè)方面來研究數(shù)學(xué)題是實(shí)現(xiàn)教師專業(yè)成長的重要途徑筆者在教學(xué)研究中，對一個(gè)數(shù)列問題作了一些思考和探索，現(xiàn)整理成文與大家交流，以期引起廣大的一線教師重視開展數(shù)學(xué)研題活動，實(shí)現(xiàn)專業(yè)成長.

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命題

戴再平先生認(rèn)為，編制習(xí)題是數(shù)學(xué)教師必備的一項(xiàng)基本功根據(jù)教學(xué)的實(shí)際情況，需要改造舊題，創(chuàng)造新題，編制出各種例題、練習(xí)題、思考題和試題如果一味照搬成題，特別是在考試中，就難以準(zhǔn)確地評價(jià)學(xué)生的水平，因此教師必須具備編制習(xí)題的能力，掌握獨(dú)立地創(chuàng)造新題的方法.

通過學(xué)習(xí)、研究已有的題目，把握核心思想，發(fā)展、適度創(chuàng)新編擬出新的問題，形成情境、背景公平的數(shù)學(xué)試題，以測試學(xué)生在新的情境下解決問題的能力在一次四星高中（重點(diǎn)中學(xué)）的高一數(shù)學(xué)期末考試命題時(shí)，研究了下面兩個(gè)題目：

這兩個(gè)題目都是將等差、等比數(shù)列交織組合在一起的數(shù)列問題借用這種命題的思想，將公比為3的等比數(shù)列2，6，18，54，…插入到公差為2的等差數(shù)列1，3，5，7，9… 中，交織組合在一起形成新的數(shù)列1，2，3，6，5，18，7，54，9…，以適度增加問題復(fù)雜性，從簡單到復(fù)雜是命題的一個(gè)重要手段第（1）問要求求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，考查等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識觀察這個(gè)數(shù)列，提出了第（2）問，進(jìn)一步觀察這個(gè)數(shù)列，結(jié)合要考查知識點(diǎn)求和公式提出了第（3）問探究性問題，最終形成下面的試題提出3個(gè)問題，目的是讓不同層次的學(xué)生都有所作為.

2解題

著名數(shù)學(xué)教育家單墫指出：“實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)教學(xué)的好壞，取決于教師的素養(yǎng)，尤其是他的數(shù)學(xué)水平，如果數(shù)學(xué)水平較差，根本不能獨(dú)立解題，那么無論怎樣‘改進(jìn)教法，恐怕也是無濟(jì)于事的”不論是命題，還是講題，都離不開解題活動命題的過程中要檢驗(yàn)題目是否符合學(xué)生的實(shí)際水平、能否實(shí)現(xiàn)考查目標(biāo)、題設(shè)條件是否矛盾、解題的過程是否繁簡等等，這些都必須在解題目的過程中才能發(fā)現(xiàn)為了要講題，教師在備課時(shí)自己要獨(dú)立解題，想學(xué)生可能采用的各種解題方法，研究解題過程中的關(guān)鍵、難點(diǎn)所在，方法的由來，為啟發(fā)點(diǎn)撥學(xué)生作好充分的準(zhǔn)備數(shù)學(xué)教師的解題與數(shù)學(xué)家解題的最顯著的區(qū)別是，教師的解題時(shí)時(shí)刻刻考慮到學(xué)生的想法鑒于本題的解題方法在講題中都有所涉及，在這個(gè)部分不重復(fù)敘述.

3講題

著名心理學(xué)家奧蘇伯爾說：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之：影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué)”調(diào)查學(xué)生的典型解法和錯(cuò)誤，分析這些解法的來源以及錯(cuò)誤的根源，是開展講題活動的主要依據(jù)這樣的講評才會有較強(qiáng)的針對性、目的性，從而取得較好的教學(xué)效果現(xiàn)在不少地方實(shí)現(xiàn)了網(wǎng)上閱卷，為調(diào)查學(xué)生的答題情況提供了極大的方便本題是最后一道試題，滿分16分，平均得分只有62分，從學(xué)生心理上來分析，學(xué)生有畏懼壓軸題的傾向，沒有形成躍躍欲試的良好的解題心態(tài)，自信心不足試題講評，不僅僅講知識方面的，也要分析心理方面的通過教師潤物細(xì)無聲的講解，幫助學(xué)生樹立獨(dú)立解題的信心，讓學(xué)生在自己的一次次獨(dú)立解題成功中強(qiáng)化自信心.

第（1）問學(xué)生解題中存在的主要問題是，中下等的學(xué)生不能歸納出{an}的通項(xiàng)公式，比較與整合的能力較差，這部分學(xué)生我們尤其要關(guān)注，試題講評要面向全體學(xué)生，讓人人有進(jìn)步、有發(fā)展在教師的引導(dǎo)下，在比較中實(shí)現(xiàn)整合第（2）、（3）問存在的主要問題是由特殊得出猜想，沒有給出一般的形式化的演繹證明教師首先肯定學(xué)生已有的探索成果，然后指出不足引領(lǐng)全體學(xué)生，觀察特殊情況，引發(fā)猜想，再進(jìn)一步證明，體驗(yàn)直覺、合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、證明中的作用，感悟形式化演繹證明的力量，從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識

師：我們首先來研究第（1）問，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，則可以寫出數(shù)列{an}的前9項(xiàng)1，2，1+d，2q，1+2d，2q2，1+3d，2q3，1+4d

師：請一個(gè)同學(xué)到黑板上完成第（1）問的解題過程.

師：這種數(shù)列的重新組合其實(shí)質(zhì)是數(shù)列項(xiàng)數(shù)的變換.

師：接著我們來研究第（2）問，請同學(xué)們說說你的想法.

師：請說說你的詳細(xì)的想法.

生4：當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，找不到這樣的m，當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，好象只有m=2.

師：同學(xué)們說說你對生4的這種解法的看法.

師：生4觀察數(shù)列提出猜想，生5給出了嚴(yán)密的證明.

師：最后我們來研究第（3）問，要判斷S2mS2m-1恰好為數(shù)列{an}中的一項(xiàng)，怎么辦？

師：同學(xué)們說說他用了怎樣的求和方法.

生7：分組求和，將整個(gè)數(shù)列分成等差和等比數(shù)列兩組，分別求和.

師：是否有更簡潔的求S2m-1的方法？

生10：這是一個(gè)分式，對分式進(jìn)行分拆.

師：請到黑板上寫出具體分拆的過程.

師：你怎么想到使用分拆這種方法的？

師：分拆的目的是什么？

師：請說說你的理由.

師：上述就是用判定函數(shù)的單調(diào)性的方法來研究數(shù)列的單調(diào)性證實(shí)了生15的直覺：指數(shù)式比二次式變化得快.

師：同學(xué)們，有沒有想到其它的方法？

綜上，存在正整數(shù)1，使得S2S1恰好為數(shù)列{an}中的第三項(xiàng)；存在正整數(shù)2，使得S4S3恰好為數(shù)列{an}中的第二項(xiàng)

師：題1、題2、題4作為補(bǔ)償練習(xí).

題4已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S4=11，a4=3a3.

（1） 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列{an}前2k項(xiàng)和S2k；

（3）在數(shù)列{an}中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)am，am+1，am+2，按原來的順序成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)m的值，若不存在，說明理由.

4一點(diǎn)感悟

通過研題活動發(fā)展教師的數(shù)學(xué)觀和教學(xué)觀，數(shù)學(xué)不是真理的簡單的累積，而是人類的一種創(chuàng)造性活動，數(shù)學(xué)主要是一種探索性的活動，并包含有錯(cuò)誤、嘗試與改進(jìn)的過程，而且必然地處于一定的發(fā)展變化之中因此教師認(rèn)識到學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解有一個(gè)過程，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是逐步深入的，不可能一步到位，從而重視數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展性與過程性教學(xué)不是向?qū)W生呈現(xiàn)“冰冷的美麗（Ice Beauty）” 的學(xué)術(shù)形態(tài)，而是要把這種“冰冷的美麗（Ice Beauty）”通過教師的教學(xué)，變成學(xué)生的“火熱的思考（Hot Thinking ）”的教育形態(tài)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)像一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，是理論的形態(tài)，但從另一方面看，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來像一門試驗(yàn)性的歸納科學(xué)直覺與邏輯、合情推理與演繹推理，這些矛盾和沖突，是發(fā)展學(xué)生認(rèn)識能力的動力，學(xué)生正是在處理這些矛盾的過程中，思維得到發(fā)展教師通過分析學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，了解學(xué)生可以獨(dú)立地做到什么，開展講題活動，提高教學(xué)的有效性和針對性對于學(xué)生的不嚴(yán)密推理，看似無道理的想法，教師不應(yīng)該僅僅評論，更不應(yīng)該訓(xùn)斥，要給他們以切實(shí)的幫助，通過教師的逐步引導(dǎo)以及示范教師的思考過程，讓學(xué)生從不嚴(yán)密走向嚴(yán)密，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的規(guī)范性成分，從而學(xué)會思考建構(gòu)主義認(rèn)為：學(xué)生學(xué)習(xí)的過程是一個(gè)根據(jù)已有知識和經(jīng)驗(yàn)主動建構(gòu)的過程，因此，在講題過程中要充分尊重學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，發(fā)展學(xué)生的元認(rèn)知，讓學(xué)生自我意識、自我調(diào)整、自我評價(jià)與反思指導(dǎo)學(xué)生把自己經(jīng)歷的解題過程作為一個(gè)整體對象來反思，反思自己在哪些方面沒有獨(dú)立想得出來，通過再次寫出具體的解題過程，想自己在哪些方面是不熟悉的，努力把每一個(gè)細(xì)節(jié)都想清楚，在反思中消化、提煉過程并升華數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)反復(fù)的過程，同類型題目要反復(fù)做，以達(dá)到熟練，把握其中的奧妙，看清問題的本質(zhì)，達(dá)到精通此類問題，這樣再遇到類似的題目就可以獨(dú)立解題在復(fù)雜的問題情境中，通過讀題展開豐富的聯(lián)想發(fā)散，選擇合理的解題途徑，利用條件化、結(jié)構(gòu)化、自動化、策略化的知識解決問題.

作者簡介張乃貴，1966年生，男，江蘇興化人，教育碩士，中學(xué)高級教師，江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)特級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育、初等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)競賽研究，在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等報(bào)刊雜志發(fā)表論文300多篇.