均值不等式幾種幾何模型歸類解析

均值不等式即是必修五第三章內容，是學生必須掌握的一個重點知識，應用廣泛，如果把課本的定理和練習的幾個式了組合在一起就成為了，但最后一個不等式即課本沒有涉及，敘述為兩個正實數的調和平均數不大于這兩個數的幾何平均數，而幾何平均數不大于它們的算術平均，算術平均數不大于的它們的平方平均數，而平方平均數不大于它們的反調和平均數在證明過程中用代數的方法比較多，構造幾何模型的比較少，最近聽了華東師范大學博士汪曉勤教授的《高中數學教師的專業素養——HPM視角》的專題講座，提及古代泥版數學上就有記載均值不等式用幾何構造證明，頗感興趣，仔細研讀，整理七種不同幾何模型證明均值不等式.圖1

模型二如圖2，AB為直徑，D是半圓上一點，過

D作DC⊥AB于C，連OD，過C作CE⊥OD于E，以O

為圓心OC為半徑作半圓，過O作FO⊥OD交半圓于F，過

F作FD的垂線交DO的延長線于G，則根據圖中線段的大小

模型三如圖3，設四邊形ABCD是一個直角梯形，

線段EF，GH，MN，PQ，均與上下底平行，PQ

等分梯形面積，MN為中位線，GH將梯形分成兩個，

且梯形AGHD∽梯形GBCH，EF過梯形的對角線AC、

BD的交點I設AD=a，BC=b，則MN=a+b2由

梯形AGHD∽梯形GBCH，GH是AD與BC的比例

中項，所以GH=ab，EF過梯形的對角線AC、

模型四如圖4，在Rt△ABC中，AD，AM分別是斜邊

BC上的高線、中線，作DH∥AM，AH⊥DH于H，

模型六如圖6，第24屆國際數學家大會的會標

正方形ABCD，內接正方形EFGH，設AE=a，BE=b，

由圖可知Rt△BEF的內接正方形BRST邊長易得為

當且僅當a=b時等號成立.

作者簡介楊志芳，男，1965年生，浙江省富陽市人，中學高級教師，市學科帶頭人，杭州市中小學教師中、高專業技術資格評審委員專家庫成員長期從事數學教學研究和教育科研發表和獲獎的論文30余篇，主持或參與省市課題10個，主編、參編教輔用書8本，曾獲杭州市優秀教師等榮譽