觀2013年各地向量考題說2014年向量復(fù)習(xí)建議

楊平 趙青 張玉蘭

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，向量是近代數(shù)學(xué)最重要和最基本的概念之一，是溝通幾何、代數(shù)、三角等內(nèi)容的橋梁，它具有豐富的實際背景和廣泛的應(yīng)用

因此，《考試說明》中對平面向量部分的要求大都在B級或C級高考試題涵蓋選擇、填空和解答各個題型，包含易、中、難3個等級本文就2013年各地數(shù)學(xué)高考中向量型試題的考查特點進行系統(tǒng)的分析，并提出2014年高三向量復(fù)習(xí)建議

1考查向量的概念、性質(zhì)及坐標(biāo)運算仍然是主旋律

如向量的模、向量a在b方向上的投影、向量共線、向量平行與垂直、向量運算等都是重點考查內(nèi)容.

平面向量數(shù)量積是研究向量垂直、平行、向量的夾角、投影的重要途徑，是考查的重點此題以命題的形式出現(xiàn)，但考查a·b的運算公式及向量平行的概念 如2013年課標(biāo)Ⅰ也考了平面向量數(shù)量積運算.

此題屬于容易題，考查了實數(shù)與向量乘積運算 實數(shù)與向量乘積是研究向量共線的基礎(chǔ)，也是平面向量基本定理的必備內(nèi)容不難得出，向量a|a|是與a同向的單位向量.

答案選A.

評注此題考查向量的坐標(biāo)運算及模的幾何意義

2平面向量基本定理—— 一個能編網(wǎng)的定理

平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，e1，e2為所有向量的一組基底

這個定理給我們一個提示，即平面內(nèi)的所有向量都可以用基底來表示，換句話說，平面內(nèi)的向量可以用基底統(tǒng)一起來于是，基底也就把不同的向量聯(lián)系在一起，我們可以找到其關(guān)系，可以建立方程，向量也因此不再孤立，每個向量都存在于一個系統(tǒng)之中其實，向量的坐標(biāo)運算，也是將向量利用單位正交基底統(tǒng)一起來，二者都是把參與運算的向量用基底（已知向量）表示出來.

評注之所以選向量AD，AB作為基底，是因為題設(shè)中有AD，AB的模和夾角的信息 因此，把向量AD，AB作為基底，根據(jù)平面向量基本定理把AC與BE聯(lián)系起來，再進行運算，這是向量線性運算中常用的策略此題也可以建立直角坐標(biāo)系，找到向量坐標(biāo)來運算.

類似的問題，如2013年山東理科第15題，2013年江蘇第10題，2013年四川理科第12題，2013年北京理科第13題、文科第14題等都涉及到這類問題.

3向量與函數(shù)完美結(jié)合

由于向量的數(shù)量積為實數(shù)，又向量的坐標(biāo)表示也是代數(shù)化的形態(tài)，故歷年高考題中多次出現(xiàn)以向量形式出現(xiàn)的函數(shù)問題，尤其是2013年浙江理科第7題，很是奪人眼球.

分析學(xué)生面對此題很茫然，其原因是對條件“對于邊AB上任一點P，恒有PB·PC≥P0B·P0C”不理解.

首先，這是一個函數(shù)問題，對任一點P而言，PB·PC是變量，即函數(shù)f（P）=PB·PC；其次，函數(shù)f（P）的最小值為f（P0），且取最小值時的位置是P=P0，這點不難理解，因為求函數(shù)最值問題時，都要求出最小值或最大值時的x的取值，或最優(yōu)解 因此切入點是找函數(shù)取最小值時的位置.

評注此題堪稱經(jīng)典，向量為背景，考查函數(shù)的最值問題，但題目中沒有出現(xiàn)明顯的最大值、最小值、取值范圍等函數(shù)的痕跡.

評注相比之下，浙江理科第17題比第7題函數(shù)的痕跡要明顯的多入手也顯得輕松一些.

評注此題畢竟情況特殊，因此看似麻煩，但函數(shù)表示法中有列表法與之相呼應(yīng) 當(dāng)然，通過表格或畫圖，可以觀察ai+aj與ck+cl的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其彼此為相反向量，又由于

a·b=|a|·|b|cos θ，其最小時應(yīng)為θ=π，且|a|·|b|最大，故只需找到ai+aj中模最長的向量即可.

函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要模型函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一初中學(xué)習(xí)了函數(shù)的描述性概念，解決了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等簡單的函數(shù)，了解其圖像和性質(zhì)；高中（必修1）學(xué)習(xí)函數(shù)概念、基本性質(zhì)與基本初等函數(shù)；選修系列的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的學(xué)習(xí)，是對函數(shù)學(xué)習(xí)的進一步加強生活中函數(shù)可以說無處不在，因此，不只是學(xué)習(xí)函數(shù)知識，還要建立函數(shù)意識.

4向量與三角綜合

向量是溝通幾何、代數(shù)、三角的橋梁，向量的夾角與向量的數(shù)量積運算公式都離不開角因此，向量與三角部分知識的交匯，使得很多試題都在向量與三角部分進行綜合.

評注此類問題中規(guī)中矩，是向量與三角的綜合問題，但核心還是三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)問題.

向量是溝通幾何、代數(shù)、三角等內(nèi)容的橋梁除了這些形式的向量試題，在很多問題中，大家都用到向量來解決一些問題，如2012年北京高考解析幾何試題，證明三點共線，利用向量證明相當(dāng)方便何時能用向量解題呢？這就需要我們了解向量的概念和性質(zhì)、運算，這樣就可以有針對性地使用向量解決問題.

不難看出，理解基本概念，抓住概念的本質(zhì)，仍然是平時學(xué)習(xí)過程中的關(guān)注點，重中之重，還有，不能孤立地看每一個向量，因為向量彼此是有聯(lián)系的，同時向量還可以與函數(shù)、三角、幾何聯(lián)系起來，形成了一個系統(tǒng)不只向量如此，所有的數(shù)學(xué)概念都如此，它們存在于一個系統(tǒng)中，不是孤立的.

作者簡介楊平，男，45歲，特級教師；趙青，女，中學(xué)高級教師；張玉蘭，女，北京市高中數(shù)學(xué)特級教師