函數與不等式的博弈

1引子

縱觀湖北省近幾年高考題的壓軸題一般都是將不等式和函數問題相結合，其特點在于：第一問是求函數極值，第二問是利用第一問的結論，通過參量代換，證明一個局部不等式，第三問是利用第二問的局部不等式證明一個難度較大的不等式利用參量代換（用換元法來“配”和“湊”相關的參量）來證明局部不等式的技巧性較強，難度較大，若是沒有足夠的靈活性和經驗，在考場上往往難以一擊即中若采用逆向思維，從不等式本身出發，通過適當變形，構造一個新的函數，通過考察函數的極值，達到證明不等關系的目的，往往能夠起到出奇制勝的效果此種方法是以不等式為“本”，以構造函數為“輔”，通過不等式來主導函數解決相關的問題，高考實戰中能“快，準，狠”地攻克壓軸題本文從2013年湖北理科高考的壓軸題出發，通過兩種方法的對比，說明我們的策略的優勢，并且將此方法應用于相關的題目當中進行對比驗證！

2例題賞析

點評本題第二問的法一是傳統做法，它是由第一問函數極值“衍生”出的不等式，通過令x=±1n，從而達到證明新的不等式的目的它的做法是以函數為“本”，以欲證明的不等式為“末”，采用的是“逐末用本”的策略但是就本策略而言，需要考生有較強的洞察力和悟性，能夠深刻把握“函數不等式”和“欲證不等式”之間的聯系而法二則是從不等式本身出發，通過簡單的變形及其構造新的函數，很容易攻克“欲證不等式”，我們的策略最顯著的特點是“自然”，整個過程易想，易行，易算！并且能夠舉一反三，下面幾個例題將再次證明我們的策略的優越性！

點評對于含有雙元參量的不等式問題，可以設其中一個變量為x，然后將不等式的右邊的式子移到不等式左邊，從而可以構造函數來解決問題，如第二問的法二所示，這種方法可以作為一種常規思維固化下來，以后解題均可“依葫蘆畫瓢”，自然而簡單類似地，對于含有多元參量的不等式的證明，可以設其中一個參量為x構造函數，利用導數求極值，亦可解決此類證明問題，如第三問所示事實上，今年湖北高考和調考試題，多可用此種方法進行解決此外，第三問也可以用Jesen不等式來解釋：當p>1時，f（x）=xp是下凸函數，所以

點評例3的第一、二問實際上是采用構造函數的方法來證明，但是對學生基本功的要求較高，尤其在處理過程中要靈活還原，否則無法解決；第三問實際上是仿照后面例四的第三問來處理，采用數學歸納法及其構造函數的方法，過程較為復雜，需要學生有深厚的數學功底和變形技巧本題采取的策略依然是以不等式為“本”，通過適當變形，構造一個結構簡單的函數，然后利用極值性解決不等式問題事實上，本題依然可以采用Jesen不等式來處理：原不等式p，q∈R，只要p>q，則（ap1+ap2+…+apmm）1p≥（aq1+aq2+…+aqmm）1q，該不等式等價于（ap1+ap2+…+apmm）qp≥aq1+aq2+…+aqmm，構造函數f（x）=xqp，易知此函數為上凸函數，所以（ap1+ap2+…+apmm）qp≥aqp·p1+aqp·p2+…+aqp·pmm=aq1+aq2+…+aqmm利用Jesen不等式很輕松證明此題，請讀者仔細品味此種解法和2012年湖北高考理科壓軸題的最后一問，不難發現，兩種解題手法有異曲同工之妙！

點評第二問實際上是著名的Young不等式，筆者比較欣賞的解法是法二，因為它是解決二元不等式的一個通法，毋需像法一那樣要“湊”和“配”相關的量，在實戰中比較耗時！Young不等式是一個局部不等式，由Young不等式進而可以衍生出Hlder不等式（如第三問所示），在證明過程中也需要進行“湊”和“配”，對變形技巧要求較高此外，Young不等式亦可利用Jesen不等式進行證明：因為f（x）=lnx是一個上凸函數，所以ln（1pap+1qbq）≥1plnap+1qlnbq=lna+lnb=lnab此外，Hlder不等式亦可利用Jesen不等式進行證明，請有興趣的讀者自己證明事實上，赫爾德不等式可以退化為Cauthy不等式，如令p=q=2，則Hlder不等式實際上就是Cauthy不等式，所以Cauthy不等式是Hlder不等式的一種特殊形式！

3總結反思

關于的二元不等式問題，可以構造函數，考察函數h（x）的極值性來解決該類問題例如，例4（Ⅱ）的一個變式：設0

在函數與不等式的博弈當中，究竟誰主導誰，不可一概而論，而需具體問題具體分析從命題人的角度來看，利用函數的極值性可以衍生出許多“新，奇，怪，難”的不等式，此時是函數主導不等式，或者說由函數“衍生”出不等式但是從考生的角度來看，其思路很難和出題人的思路同步，并且在解題過程中有一種“霧里看花，水中撈月”的感覺，此時我們必須從不等式本身出發，以不等式為“本”，通過適當變形，構造出結構簡單的新的函數，通過考察函數的極值性，從而“自然”攻克不等式的證明問題因此，平時我們做題需要從思想方法，變形技巧，典型模型三個方面積累有關的經驗，這樣才能在高考中立于不敗之地！此外，湖北高考壓軸題往往以Bernoulli不等式，Jesen不等式，Young不等式，Cauthy不等式等為背景進行挖掘因此，我們也需要對相關不等式有一定的了解！

作者簡介

趙亮，博士，曾經就讀于華中科技大學國家光電實驗室（籌），專業是光電信息工程，已經發表了10余篇國際光學期刊，其中7篇SCI收錄，4篇EI收錄本人的研究領域是非線性光學，包括光孤子特性研究，四波混頻在光傳輸中的應用，UWB信號的產生與傳輸研究在數理方面研究也很廣泛，主要研究領域有特殊函數，量子理論，數理方程等方面.