怎樣提升解題教學實效

謝斌梁

在解題教學中，教師絕對不可能把所有的思路傳授給學生，也不可能把所有的思維訓練在課堂上進行。實踐證明，只要教師有計劃且堅持不懈地指導和督促學生在解題教學中進行經常性的、長時間的以下四項思維訓練，學生解題能力就一定會得到突飛猛進的發展和提升。

一、培養學生一以貫之的系統思維

好的系統思維是發現和掌握系統知識化的前提，它能促使學生從已知的知識中獲取有關原理，揭示規律，實現知識的遷移。通過遷移，既能促使對已有知識的理解、技能掌握的進一步加深充實，又能獲得新的知識和技能，達到融會貫通，提高學習效率的目的。

1.利用知識的相似性由舊知到新知

遷移所依賴的主要條件是不同知識存在著共同因素——相似塊。前后教材的“相似塊”越多就越容易產生正向的遷移。在教學新課時，通過發掘新舊知識的“相似塊”，并充分利用它，創造遷移環境，就可以溝通新舊知識的內在聯系，逐步提高學生學習和探索新知識的能力。因此，在學習新知識之前，教師應有意識地為學生學習后續知識做好鋪墊，讓學生在從舊知識過渡到新知識的學習中形成合理的認知結構。

例如，教學歸一應用題時，我設計了復習題“籃球每個50元，買8個需要多少元？”就是為了新授課鋪路搭橋。

接著過渡到例題“如果不直接出現籃球的單價，學校體育組花了200元買了4個籃球，照這樣計算，買8個籃球需要多少元？”

由于抓住了新舊知識的銜接點，學生躍躍欲試。不到幾分鐘，學生都有了自己的答案。經檢查絕大多數學生的列式為“200÷4×8”，但也有個別學生列式為“200×（8÷4）”。我有些驚喜，于是讓這些學生講一講這么做的算理：因為籃球的單價是一定的，8個籃球的個數是4個籃球的2倍，那么買8個籃球的總價也是4個籃球總價的2倍。

學生能學得如此輕松，而且有幾個學生能有如此獨特的思維方式——倍比法，應該說是新舊知識的巧妙碰撞，促進了知識的遷移，使學生完全處于主動學習的地位，學習潛能得到了充分的挖掘。

2.利用遷移規律，加快知識的同化和調整

學生的數學認知結構是隨著數學學習的進程不斷擴大、加深和發展的。這種過程有兩種相輔相成的方式：在新知識與原有認知結構相一致的情況下，新知識就被納入原有的知識結構中，從而擴大了它的內涵，這種過程叫做同化；當新知識與原有認知結構不一致時，就要對原有認知結構進行部分地改組，以適應新的學習需要，這種過程叫做調整。因此，在課堂教學中要十分注意知識的同化和調整，以不斷提高遷移的水平。

例如，某運輸隊有甲、乙、丙三個汽車小隊，共運570噸煤。各小隊的運輸能力為甲隊與乙隊的比是4∶3，乙隊與丙隊的比是6∶5，各小隊應該各運多少噸？

其一，揭示常規解法。

分析：先把甲、乙、丙三個小隊的運輸能力比化成連比，然后再按比例進行分配。根據比的性質可以知道甲、乙、丙三個小隊的運輸能力的連比是8∶6∶5（此處有少數學生還是摸不著頭腦）。

解：甲：570×=240（噸）；

乙：570×=180（噸）；

丙：570-（240+180）=150（噸）。

（這里有學生提出“570×=150（噸）”也是可以的）

其二、提示法。

根據其一的分析，甲、乙、丙的運輸能力之比是8∶6∶5，三個小隊共有19份，再求出這19份為各隊的多少倍，即可得倍數解。

解：甲：570÷（19÷8）=570÷=240（噸）；

乙：570÷（19÷6）=570÷=180（噸）；

丙：570÷（19÷5）=570÷=150（噸）。

又如，在整數學習中“男生比女生多15人”可以看做“女生比男生少15人”，而在分數教學中“男生比女生多”，就不能看成“女生比男生少”。在教學中，應該采取適當的措施，讓學生認識到，單位“1”的不同，計數的分數單位就不同。進行單位“1”的專門訓練，可利用學生已有的認知結構深化學習。因為如果不去及時調整，就會產生負遷移，給學生的后續學習造成障礙。

二、培育學生一反常態的逆向思維

逆向思維是與正向思維相對而言的。所謂逆向思維是與一般的正向思維相反、與傳統的或習慣的思維方向相反的一種思維，它要求在思維的活動時，從兩個相反的方向去觀察與思考，從相向的視角（如上下、左右、前后、正反）來看待和認識客觀事物。

然而在數學課堂中，往往由于教學的失誤，或受生活習慣的影響，學生習慣于順向思維，因而形成一種思維定式，他們不習慣于逆向思維，思維缺乏靈活性，從而導致缺乏學習興趣，嚴重影響學習的質量。因此，在數學教學中提高學生順向思維能力的同時，也應加強逆向思維的訓練，培養學生逆向思考問題的能力。

1.重視概念教學中數學命題的逆向敘述

小學數學概念中的數學命題都包含有前提和結論兩部分，一般都是順向敘述的。在教學時不失時機地引導學生變換方向進行逆向敘述，可以加深學生對數學命題的理解，幫助學生形成新的認知方式。

例如，小數點移動的方向、位置和小數值變化的規律，在教學時既要學生懂得正向敘述是“小數點向右移動一位、二位、三位時，小數值就分別擴大10倍、100倍、1000倍”，還要學生學會逆向敘述：“小數值分別擴大10倍、100倍、1000倍時，小數點分別要向（ ）移動（ ）位。”

進行訓練的同時也要防止學生將命題的前提和結論機械換位，影響命題的科學性。例如0是自然數，逆向敘述：“自然數是0。”就是將命題的前提和結論機械換位，導致命題的錯誤。因此，要引導學生科學地進行逆向敘述。

2.加強計算教學中逆向思維的訓練

在計算教學中，特別是幾何求積，要引導學生對所學公式注重正向使用的同時，更要注重逆向運用。這樣有利于培養學生逆向思維的能力。

例如，教學圓錐的體積計算公式后，對公式的逆向使用可設計如下的深化練習題：“一個圓錐的體積是12.56立方分米，底面積是9.42平方分米，高是多少分米？”學生學了體積計算公式后，習慣知道底面積和高后再求體積。而現在練習題反過來，由體積和底面積去求高，在逆向使用的過程中已涉及體積計算公式的變形，有利于學生對“3V錐=sh”的進一步理解。這樣在培養學生逆向思維能力的同時培養了學生思維的深刻性。

三、培訓學生一題多解的發散思維

發散思維是一種讓思路多方向、多維度全面展開的立體、輻射型思維方式。運用這種思維方式，對單個的信息，思考者會沿著不同的角度和方向去思考，由點到線，由簡單到復雜地將知識串聯起來，再衍射開來，能夠建立起動態的網絡知識體系，從而拓寬思路。

例如，有若干雞和兔關在同一籠子里，共有頭48個，腳100只，問雞和兔各有幾只？

解法一：假設全部是雞，找出腳的相差數，以兔換雞，可以求出兔的只數。

假設48只全部是雞，則有腳48×2=96（只），比實際少了100-96=4（只）腳，少的4只腳必須把雞換成兔，來抵消相差的腳數。

因為每只兔比每只雞多出2只腳，因此兔的只數是4÷2=2（只），則雞的只數即可求出。

綜合算式：（100-2×48）÷（4-2）=2（只）……兔

48-2=46（只）……雞

解法二：假設全為兔，找出腳的相差數，以雞換兔，可求出雞。

假設48只全是兔，則有48×4=192（只）腳，比實際多出了192-100=92（只）腳。

一只雞換成一只兔可以少算4-2=2（只）腳。

要抵消多出的92只腳，必須把兔換成雞，雞有92÷2=46（只），即可算出兔的只數。

綜合算式：（48×4-100）÷（4-2）=46（只）……雞

48-46=2（只）……兔

解法三：假設100只腳全是雞腳，那么雞的只數是100÷2=50（只），比實際多出了2只。

若一只兔腳換一只雞腳，可以減少- =（只），要清除多出的兩只，必須把2÷=8（只）雞腳換成兔腳，這樣兔有8÷4=2（只），即可求出雞的只數。

綜合算式：（100÷2-48）÷（-）÷4=2（只）……兔

48-2=46（只）……雞

解法四：假設100只腳全是兔腳，應有100÷4=25（只）兔，比實際少了48-25=23（只）。

用一只雞腳換一只兔腳，增加了-=（只）。

要消除少的23只，必須把兔腳換成雞腳的只數是23÷4=92（只），92÷2=46（只），即可以求出兔的只數。

綜合算式：（48-100÷4）÷（-）÷2=46（只）……雞

“雞兔同籠”是一個古老而經典的數學問題，亦可稱之為“龜鶴問題”、“置換問題”等，這種類型的題目在實際生產生活中時常會見到。

雞兔問題的數量關系式：

（1）當假設全是兔時，可先求出雞的只數：

（4×頭數-只數）÷（4-2）=雞數；

（2）當假設全是雞時，可先求出兔的只數：

（只數-2×頭數）÷（4-2）=兔數。

以上式子的意思是：假設都按兔算，應共有（4×頭數）只腳。比實際只數多出了（4×頭數-只數）只腳，為什么多出腳呢？因為雞2只當成了兔4只算，每只雞多算了（4-2）只腳，相除就可以求出雞的只數。

這里介紹了四種假設法，當然還有很多的假設方法，在此不再一一介紹。相比較而言，此類題目采用方程解答更為簡捷。

四、培植學生一隅三反的創造性思維

我們應該充分認識到改變傳統教學方式、轉變學習方式的目的在于建立和形成多樣化的學習方式，促進學生在教師指導下主動地、富有個性地學習。積極引導學生大膽猜測、自主探究，用自己的學習方式進行驗證，這樣才能培養學生樂于提問、勤于思考、善于反思的意識和習慣，才能實現數學的“再創造”。

創造性思維的顯著特征是培養學生充分發揮自己的想象力。聯想思維是創造性思維的“支架”，通過聯想的過程可以把問題的終態加速與始態聯系起來，思維達到一定的深度后問題才會迎刃而解。

例如，在六年級（上）學習圓的面積時，通過研究可以得知，正方形里最大的圓的面積占了正方形面積的，計算時，取。到了六年級（下）學習圓柱體積時，如果在一個底面是正方形的長方體里削出一個最大的圓柱，圓柱的體積也是占了長方體的，計算時，取。

當學生遇到習題：“把一個橫截面是正方形的長方體木料切削成一個最大的圓柱體，此圓柱的表面積是65.94平方厘米，底面直徑與高的比是1∶3，原來長方體的表面積是多少平方厘米？”時，他們討論出了一種常規做法：

設直徑為d，高為3d。

圓柱側面積：3.14×d×3d=9.42d2。

圓柱的兩個底面積：：3.14×（d÷2）×（d÷2）×2=1.57d2。

圓柱的表面積：9.42 d2+1.57d2=10.99d2。

直徑的平方：d2=65.94÷10.99=6。

長方體的表面積：d×d×2+ d×3d×4=14d2=14×6=84（平方厘米）。

這時，一位學生提出了另一種算法：“65.94÷=84（平方厘米）”。其他學生一看，答案倒是一樣，但這種解法的思路依據又是什么呢？圓柱表面積真的占了長方體的表面積的嗎？后來學生通過自己的聯想，體會到了在圓的面積、圓柱的表面積、圓柱的體積中的廣泛應用，還得出了論證過程：

設圓柱的半徑為r，高為h。

圓柱的2個底面積：2πr2 。

長方體的2個表面積：2×2r×2r=8r2。

圓柱的側面積：2πrh。

長方體的側面積：2r×4×h=8rh。

圓柱的2個底面積÷長方體的2個底面積=（2πr2）÷（8r2）=。

圓柱的側面積÷長方體的側面積=2πrh÷8rh=。

所以，圓柱的表面積÷長方體的表面積=。

加強創造性思維的訓練，有利于溝通知識的內在聯系，融會貫通已學的知識，逐步形成牢固的知識網絡，有利于逐步加長思維鏈的長度，即通常所說的往前多想了幾步；有利于學生在獲得信息后，產生豐富的聯想，甚至于奇思妙想。

有人說：偉人之所以是偉人，是因為他能為十年后、百年后種一棵樹。因此，一位好教師之所以能成為一位好教師，是因為他絕不會為明天學生考幾分而教學生，他會因為學生明天如何發展而教學生。也就是說，人的發展勢必成為當今課堂教學的立足點，并以此去喚醒學生解題的科學思維能力。

要教會學生學會科學思維解題，是一件長期的、艱苦的、細致的教學任務。在解題活動中，我們要充分發揮教師的主導作用，更要體現學生的主體地位，要讓學生更多地親自嘗試與探索，更多地激發他們在解題中的思維活動，讓他們去系統思考、逆向思考、發散思考以及創造性思考，這樣，學生的解題能力才能得到迅速、有效地提升。