把握數(shù)學本質(zhì) 滲透分類思想

沈科

數(shù)學思想是對數(shù)學本質(zhì)的認識，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學思想是數(shù)學知識的精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，且“使學生獲得數(shù)學的基本思想”是數(shù)學課程標準重要的課程目標。數(shù)學思想貫穿于數(shù)學學習的全過程，是對數(shù)學本質(zhì)理解的集中體現(xiàn)。

分類是自然科學乃至社會科學研究中經(jīng)常用到的一種思想，無論在日常生活還是科學認識活動中，都具有十分廣泛的應用。當然，分類思想也貫穿于數(shù)學研究的始終。在具體教學中，分類無論在內(nèi)容和形式上都有著或隱或顯的指向，不僅教材中有分類的內(nèi)容，課堂上也經(jīng)常看到教師將分類活動有意識地穿插在相關(guān)的教學內(nèi)容之中。“分類”事實上是數(shù)學抽象的一個必要基礎(chǔ)，是一種十分重要的認識方法。

教育心理學表明，分類是數(shù)學學習的重要起點。運用分類的思想，通過正確的分類，可以明晰數(shù)學概念，完整地發(fā)現(xiàn)與解決數(shù)學問題。但如何真正地在教學中落實分類思想，引領(lǐng)學生有效地學習數(shù)學知識，是每個數(shù)學教師應認真思考和探索的問題。

一、滲透分類思想，激發(fā)創(chuàng)新意識

分類是根據(jù)教學對象本質(zhì)屬性的異同將其劃分為不同種類，即根據(jù)教學對象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸為一類，把具有不同屬性的歸為另一類。分類是學生自主發(fā)現(xiàn)的重要手段，教師如果引導學生對所學知識進行恰當?shù)姆诸悾涂梢允顾麄兊乃伎几邨l理性，激發(fā)創(chuàng)新意識。

例如，四年級下冊“三角形的分類”（按角進行分類）一課內(nèi)容，蘇教版教材作了如下安排。

教材先讓學生觀察出示的三角形，這一過程是幫助學生建立分類的“序”，然后明確提出“三角形的分類”這一學習任務，再引導學生積極思考：三角形的分類與角的分類有什么不同？能否參照角的分類去進行三角形的分類？接著分組討論三角形的分類情況，在學生匯報后進行歸納，分別根據(jù)角的特征去定義銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。最后，教師還應引導學生對分類方法的合理性作出具體分析和總結(jié)概括：是否可能出現(xiàn)交叉重復的情況？是否有遺漏？

教材為學生提供了觀察、操作、思考和討論的空間，由“角的分類”過渡到“三角形的分類”，并且引導學生認識到通過辨析三角形中最大的一個角，可以實現(xiàn)對三角形的正確分類。這一內(nèi)容使學生在分類的科學性方面受到很好的訓練，同時激發(fā)了學生的創(chuàng)新意識。

二、滲透分類思想，發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)

數(shù)學分類思想是根據(jù)數(shù)學本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將數(shù)學研究對象分為不同種類的一種數(shù)學思想。從數(shù)學教學的角度出發(fā)，教師還應更多關(guān)注分類思想對于量性特征的研究，使學生更好地建立數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，理解數(shù)學知識。

1.關(guān)注本質(zhì)

分類作為重要的數(shù)學思想，并非高不可攀。在具體教學過程中，教師不應只停留于肯定各種分類方法，而要對學生提出的各種分類方法做出必要的優(yōu)化，引導學生學會“數(shù)學地去看待世界和分析問題”。例如，蘇教版教材一年級上冊“統(tǒng)計”一課的教學，教材直接提出問題“大象家來了哪些客人”（如下圖）來明確分類的標準，其目的是希望學生能夠通過適當?shù)姆诸惛玫厝W習本節(jié)課的數(shù)學內(nèi)容，真正經(jīng)歷收集、整理數(shù)據(jù)的過程，從而達成教學目標。這里，要考慮摒棄其他非本質(zhì)的分類方法。

2.完善結(jié)構(gòu)

對數(shù)學對象的分類必須科學、統(tǒng)一，每一次分類的標準只能是一個，不能交叉地使用幾個不同的標準，要使分類既不重復也不遺漏。例如，蘇教版教材四年級下冊“倍數(shù)和因數(shù)”單元中，對非零自然數(shù)不同的分類方法有以下兩種：一是按照是否是2的倍數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)；二是按照約數(shù)的個數(shù)分為素數(shù)、合數(shù)和1。又如，可以根據(jù)圖形的特征和相互間的關(guān)系進行分類，像三角形可按角分類，也可以按邊來分類。通過分類，使學生體會和理解不同的分類標準會有不同的分類結(jié)果。數(shù)學知識的分類突出了學習的重點，有助于學生對知識的梳理和建構(gòu)。

3.嚴謹思考

數(shù)學分類思想常常把問題按照一定的原則和標準分為若干類，然后逐類進行討論，再把結(jié)論匯總，得出問題的答案。數(shù)學分類思想應根據(jù)學生的年齡特點逐漸滲透，循序漸進，反復訓練，使學生逐步領(lǐng)悟。經(jīng)歷這樣的過程后，學生積累了關(guān)于分類的活動經(jīng)驗，發(fā)展了自身的數(shù)學素養(yǎng)。

上述例子已經(jīng)很清楚地反映出分類思想有助于學生全面地、合乎邏輯地進行思考。再如，蘇教版六年級上冊“分數(shù)乘法”單元中的思考題：“兩根同樣長的鋼管，第一根用去米，第二根用去。哪一根用去的長一些？”這里需要把鋼管的長度分為“大于1米”“等于1米”和“小于1米”三類來幫助解決問題。“化整為零，各個擊破”，這樣的思考策略正是基于分類思想的指導。

三、滲透分類思想，提高解題能力

數(shù)學學習內(nèi)容包括四個方面，即數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率以及綜合與實踐。這四個方面的內(nèi)容教學都應當以數(shù)學基本思想為統(tǒng)領(lǐng)，在具體內(nèi)容的理解和掌握過程中體現(xiàn)數(shù)學的基本思想。分類思想作為基本的、重要的數(shù)學思想，要有機地蘊涵在知識發(fā)生、發(fā)展和應用過程中。

1.運用分類思想發(fā)展推理能力

各版本教材都十分注意根據(jù)學生的實際認知水平，在各個學習內(nèi)容中滲透分類思想，讓學生在應用所學知識分析、解決問題的過程中，不斷豐富對分類思想的體驗。在具體教學中，教師應注意以實際問題為載體，幫助學生通過對解決實際問題過程的回顧與反思，適當提升對分類思想的感悟，進一步感受分類思想的價值，促進思維的發(fā)展和數(shù)學學習能力的提高。例如，蘇教版教材五年級上冊“解決問題的策略”單元中的有關(guān)問題。如下：

解決這一問題時，引導學生先列舉只訂閱1本雜志的方法，再依次列舉訂閱2本和訂閱3本雜志的方法，同時注意避免遺漏和重復。這里顯然具備了分類思想的基本特點，對于學生合理分析和解決問題有著十分重要的作用。

分類思想對于培養(yǎng)學生思維的嚴密性、嚴謹性和靈活性，以及提高學生分析問題與解決問題的能力無疑具有較大的幫助。

2.運用分類思想發(fā)展運算能力

小學生由于年齡小，思維往往表現(xiàn)出單一性，各種知識交錯出現(xiàn)，會一時難以分辨。在計算教學中，教師要有意識地引導學生開展各種分類活動，使學生在知識技能形成和能力發(fā)展的過程中逐步感悟分類思想。例如，學習四年級下冊“運算律”一課后，蘇教版教材安排了如下練習。

8.怎樣簡便就怎樣算。

102×45 648+203 63×15×2

98×32 44×25 43×43×39

27×37+37×23 256×7-56×7

48×101-48 99×62+62

課堂教學中，教師可以引導學生對算式進行分類，對比結(jié)合律和分配律，從整體上理解算理，把握算法。這里的分類，不僅能培養(yǎng)學生形成認真、仔細的學習習慣和良好的數(shù)學思維習慣，更重要的是學生通過這樣的分類過程，加深了對知識之間的聯(lián)系與比較，讓所學的知識得到更好的內(nèi)化。

3.運用分類思想發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念

教師在統(tǒng)計與概率知識的教學中，應滲透分類的思想。現(xiàn)實生活豐富多彩，很多時候需要把收集到的數(shù)據(jù)進行分類整理和描述，從而有利于分析數(shù)據(jù)和綜合地做出推斷。教材在這一方面也作了精心的設(shè)計，如二年級下冊“統(tǒng)計”單元中有很多需要應用分類思想解決的實際問題。

這一內(nèi)容的教學，往往通過不同的實際需要引出分類統(tǒng)計的必要性和適用性，讓學生明確對于同樣的數(shù)據(jù)可以用多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法。這也是發(fā)展學生數(shù)據(jù)分析觀念的具體體現(xiàn)。

當然，分類思想存在于數(shù)學學習的全過程，在各種課型中都有所體現(xiàn)，對于發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀等都有著重要作用。教師要將分類思想針對不同年級學生的認知發(fā)展水平，正確認識處理好數(shù)學思想和具體數(shù)學內(nèi)容教學之間的關(guān)系，既不要只關(guān)注“雙基”而忽視隱藏在知識背后的數(shù)學思想，也不要過分注重數(shù)學思想的滲透而加重學生的負擔。

分類思想與其他數(shù)學思想一樣，蘊涵于數(shù)學知識之中，既是高于具體知識和內(nèi)容的一種理性認識，又是聯(lián)系數(shù)學知識的紐帶，更是學習掌握各部分數(shù)學內(nèi)容的靈魂，成為形成數(shù)學概念、建立數(shù)學知識體系、思考和解決數(shù)學問題的主線。作為小學數(shù)學教師，我們必須進一步更新觀念，充分認識數(shù)學思想在數(shù)學教學中的價值和育人作用，把滲透數(shù)學思想方法真正納入教與學的目標之中。