數學思想方法在高考解題中的應用研究

冉效義

摘 要：從數學思想方法的內涵出發，論述數學思維方法在高考命題中的重要地位以及給高中數學教學的啟示。

關鍵詞：數學思想；解題；運用

數學思想方法與數學知識一樣，是人類長期發展的經驗總結和智慧結晶，是數學知識所不能代替的；只有數學知識與思想方法并重，數學知識與思想方法相互促進，才能更深刻地理解數學，從整體上認識數學，靈活地運用數學以至實現數學創造。

一、高考中數學思想方法的基本類型

高考命題突出的數學思想包括：數形結合思想、函數與方程思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想、有限與無限思想、或然與必然思想等。這些思想的考查貫穿在數學試卷的始終。

1.數形結合思想

其實質是將抽象的數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合，通過對圖形的認識，數形結合的轉化，可以培養思維的靈活性、形象性，使問題化難為易，化抽象為具體。數學是研究空間形式和數量關系的一門科學，數與形是中學數學中被研究得最多的兩個角度，數形結合是一種極富數學特點的信息轉換，它把代數方法與幾何方法中的精華都集中了起來，既發揮代數方法的一般性、解題過程的程序化、機械化優勢，又發揮幾何方法的形象直觀特征，形成一柄雙刃的解題利劍，數軸和坐標系，函數及其圖像，曲線及其方程，復數及其復平面、向量以及坐標法、三角法、構造圖形法等都是數形結合的輝煌成果。具體解題中的數形結合，是指對問題既進行幾何直觀的呈現，又進行代數抽象的揭示，兩方面相輔相成，而不是簡單地代數問題用幾何方法、或幾何問題用代數方法，這兩方面都只是單流向的，信息溝通，惟雙流向的信息溝通才是最完整的數形結合。

2.函數與方程思想

函數思想是指運用函數的概念和性質，通過類比、聯想、轉化，合理地構造函數，然后去分析、研究問題，轉化、解決問題。

方程思想是指通過對問題的觀察、分析、判斷等一系列的思維過程，將問題化歸為方程問題，利用方程的性質、定理，實現問題與方程的互相轉化接軌，達到解決問題的目的。

3.化歸與轉換思想

將所求問題，通過某種轉化過程，歸結為某個已經解決的問題，從而使所求問題得以解決。數學問題的求解過程，實際上就是問題的轉化過程，它主要體現在條件由“隱”轉化為“顯”，結論由“暗”轉化為“明”，既從陌生向熟悉、復雜向簡單、間接向直接的轉化過程。注意化歸與轉化的三要素：轉化對象、轉化目標、轉化方法。

4.分類討論思想

當所求問題有不確定因素時，要將其分成幾種不同的情況進行討論解決。注意分類原則：不重、不漏；對同一次分類要按同一標準進行；問題需多級討論時，要逐級分類，不能越級劃分。

5.特殊化思想

將所求一般性問題，轉化為特殊值、特殊圖形、特殊位置……來考慮，從特殊到一般，將復雜問題簡單化解決。

高考題重在考查對知識理解的準確性、深刻性，重在考查知識的綜合靈活運用。它著眼于對數學思想方法、數學能力的考查。高考試題這種積極導向，決定了我們在教學中必須以數學思想指導知識、方法的運用，整體把握各部分知識的內在聯系。

二、高考復習中數學思想方法的教學途徑

1.用數學思想指導基礎復習，在基礎復習中培養思想方法

基礎知識的復習中教師要充分展現知識形成發展過程，揭示其中蘊含的豐富的數學思想方法。如，幾何體體積公式的推導體系，集公理化思想、轉換思想、等積累比思想及割補轉換方法之大成，就是這些思想方法靈活運用的完美范例。只有通過展現體積問題解決的思路分析，并同時形成系統的、條理的、體積公式的推導線索，才能把這些思想的方法明確的呈現在學生的眼前；學生才能從中領悟到當初數學家的創造性思維過程，這對激發學生的創造性思維，形成數學思想，掌握數學方法的作用是不可低估的。深化學生圖象變換的認識，提高了學生解決問題的能力及觀點。

2.用思想方法指導解題練習

在問題解決中運用思想方法，提高學生自覺運用數學思想方法的意識，注意分析探求解題思路時數學思想方法的運用。解題的過程就是在數學思想的指導下，合理聯想、提取相關知識，調用一定數學方法加工、處理題設條件及知識，逐步縮小題設與題斷間的差異過程。

調整思路，克服思維障礙時，注意數學思想方法的運用。通過認真觀察，以產生新的聯想；分類討論，使條件確切，結論易求；化一般為特殊，化抽象為具體，使問題簡單等都值得我們一試。分析、歸納、類比等數學思維方法，數形結合、分類討論、轉化等數學思想是走出思維困境的武器與指南。用數學思想指導知識、方法的靈活運用，進行一題多解的練習，培養思維的發散性、靈活性、敏捷性；對習題靈活變通，引申推廣，培養思維的深刻性，抽象性；組織引導對解法的簡捷性的反思評估，不斷優化思維品質，培養思維的嚴謹性、批判性。

數學思想方法是高中數學的靈魂，是數學高考命題的靈魂，掌握數學思想方法是形成能力的必要條件。因此在平時的學習中要能動地、創造性地解題，需重視數學思想方法的運用。

（作者單位 甘肅省安定區西鞏驛中學）