期望值在決策中的應用

馬剛英

摘 要： 本文試圖利用期望值幫助人們理性面對和處理生活中出現的不確定因素。

關鍵詞： 期望值 決策 應用

人們在生活中總會遇到一些難以決斷的事情，在面對兩個或兩個以上的不以決策者主觀意志為轉移的自然狀態時，當各種自然狀態發生的可能性可以預知，并且不同方案在各種自然狀態下的損益值可以預先確定時，那如何確定一個最優方案，使獲益最大或損失最小呢？期望值就是用來平衡人們極大的利益欲望和極小化的風險這對矛盾的一個特征數字。本文將探討期望值在經濟和實際問題中的應用。

二、期望值的計算

1.彩票游戲

彩票的玩法比較簡單，2元買一注，每一注填寫一張彩票，每一張彩票由六個數字和一個特別號碼組成，每位數字均可填寫0、1…9這10個數字中的一個。每期設六個獎項，由彩票中心隨機開出一個獎號：一個6位號碼加一個特別號碼。具體情況如表1所示（假設一等獎號碼是123456，特別號碼是0）：

表1

EV=2500000×0.0000001+50000×0.000001+5000×0.00002+300×0.0003+20×0.004+5×0.05=0.82

即每一注彩票獲得獎金的期望值為0.82。也就是說，如果不停地玩這種游戲，平均下來每注要輸掉2-0.82=1.18元。

2.保險公司的盈利模式

一家保險公司有幾千個客戶，每個客戶每年付五百元保費。公司每年約有10%客戶申請理賠，理賠金額為一千元。問保險公司從中有多少賺頭？

根據數據可知，保險公司在90%的客戶身上賺了500元，在10%的客戶身上則賠了1000元。于是，保險公司從每個客戶的平均所得為：EV=0.9×500+0.1×（-1000）=350

當然，這樣的所得是基于公司有相當多的客戶，否則很容易賠錢。比如，如果只有兩個客戶，那么他們同時提出理賠的概率為0.01，而當客戶人數達到一定程度以后，同時提出理賠的概率就會明顯下降。

三、期望值與決策

在決策前，人們通常對所有可能出現的結果都賦予一定的價值或者效用，然后嘗試各種可能的方案，從中找出最大收益值或最小損失值的一種。

例：設某水果店每出售公斤香蕉可獲利0.20元，但是如果進貨一周內賣不掉，就要削價處理，每公斤賠本0.25元。已知過去一段時間銷售情況如表2所示。

表2

方法一：找出最大收益值。

根據銷售量，可有進貨方案五個：400、440、500、560、600。這五個進貨方案在各種銷售狀態下的利潤值及利潤期望值如表3所示。

表3 各進貨方案在各利陣肖售狀態下的利潤值及期望利潤值

比較這五個方案的利潤期望值，可知每周進貨量為440公斤時利潤期望值最大。因此，每周最佳進貨量為440公斤。

方法二：找出最小損失值。

根據已知條件計算各方案在各種銷售狀態下的機會損失值及機會損失期望值如表4所示。經比較，進貨440公斤的方案的機會損失期望值最小。因此，每周最佳進貨量為440公斤，這與方法一得出的結果一致。

表4 各進貨方案的機會損失值及機會損失期望值

期望值理論是保險公司和賭場賴以生存的依據。比如，因為青年人比中年人更容易出車禍，而老年人則更容易因非事故原因死亡，所以保險公司車輛保險和人壽保險的費率、賠付金額都是不等的。

如果一個人只想獲得最多的金錢，那么他會和保險公司一樣對待期望值。但是，人有七情六欲，有時一個人做一件事并不一定總想要使存折上數字后面添加若干個，他可能需要一些別的刺激。如前面所說的彩票游戲，大多數買彩票的人都知道買一張彩票平均會輸掉1.18元，從賺錢的角度來講肯定是不合算的，但是他們為什么還接著玩下去？也許抽獎的刺激和中獎的希望會帶來一種內在的非金錢的價值，這種價值可以彌補期望中的金錢損失。

決策受多種因素的影響，決策過程是比較復雜的。決策是為了使效用最大化，這里的效用最大不僅限于金錢數目最大。比如以下這個實驗，有4個選項。

（1）有千分之一的可能會贏5000元；

（2）穩贏5元；

（3）一定會輸740元；

（4）75%的可能輸1000元，25%的可能不輸1分錢。

要求他們分別從1、2、3、4中各選一項。

結果，選項1和2的期望值是一樣的。但如果從1，2中只選一項的話，多數人會選1。這種情況和買彩票相似，也就是說人們情愿花5元買一張彩票（相當于放棄穩贏5元錢的機會）贏取賺大錢的機會。而在選項3和4中選一項的話，大多數人會選4，盡管選項4的期望值是750元，要比選項3多輸10元。選項3和4與生活中是否買保險是相似的，保費相當于肯定會輸掉的錢，選項4則代表了人們對于遭遇火災、盜竊、車禍等意外事故可能存在的一種僥幸心理。為什么生活中人們明知道保費是要不回來的，卻愿意購買保險？這是因為人們往往會過高地估計小概率事件發生的概率，保單承諾可以賠償的損失在實際中發生的概率往往比較小，卻是人們擔心的。所以說，人們會為了不冒風險而少賺錢，也會為了少輸錢而冒風險。

數據在工作和生活中不可避免，會給人枯燥單調的感覺。但只要我們合理處理，就可以利用數據生活得更美好。

參考文獻：

[1]陸立強.讓數據告訴你[M].復旦大學出版社，2008.

[2]張桂萍.對期望值決策法的簡化計算的異議[J].北方經貿，1997.