數學解題思維特征及解題策略構建

摘 要：數學解題策略是以靈活的解題思維為基礎的，掌握數學解題思維的特征與構建解題策略的有效方法，能夠提高學生的解題速度和質量。結合多年教學經驗，對教學解題思維的特征和解題思維全過程進行分析，探討數學解題策略構建的技巧，對開展數學解題思維教學具有重要的指導意義。

關鍵詞：數學；解題思維；解題策略

中圖分類號：G640 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2013）07-0303-02

前言

數學解題過程中需要學生進行精準的判斷，快速解答，因此不能形成僵化的解題思維，必須具備靈活變通的特點，善于利用所學的知識來構建解題策略，充分運用靈活解題思維和技巧解決復雜數學問題。

一、數學解題思維特征

首先，數學解題需要具有透過現象看本質的思維特征。眼睛能夠讓我們觀察事物，思維能夠讓我們認識事物，通過對數學題目的細致觀察，有目的、有計劃地透過題目表面觀察題目的本質[1]。這也是能夠快速和正確解決數學問題的基礎。任何一道數學題，都包含了各種條件之間的復雜聯系，通過細致的觀察和思考，清晰掌握各個條件之間的關系，才能夠找到合適的解題方法，這也是數學解題思維的要點。

例如：已知a，b，c，d 都是實數，求證≥（a-c）2 + （b-d ）2。一般的解題思路需要從題目的形式進行觀察，得出要證明的結論右端部分與平面上兩點間的距離公式十分相似，則可以將左端部分看做點到原點的距離公式。那么根據題目的本質可以構建如下的解題策略。

設A（a，b），B（c，d ），與原點（0，0）構成三角形（如圖1所示）。得到AB=（a-c）2 + （b-d ）2，OA=a2+b2，OB =c2+d2，那么根

圖1

據三角形三條邊的關系（三角形兩邊之和大于第三邊）可以得到需要求證的題目。

其次，數學解題需要具有善于聯想的思維特征。聯想是將問題轉化為實際所學知識的橋梁。學生所學的知識范圍較廣，深度較大，表面上數學題目與學生所學知識關聯性不大，但是細心挖掘可以通過間接的、隱藏的關聯找出最快速的解決方法[2]。

例如：如果（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0成立，證明2y=x+z。一般的解題思路是通過因式分解來進行推論，但是這種思維方式解題較慢。如果注意觀察，能夠發現已知條件的左側與學生熟知的一元二次方程的判別式形式一致，通過聯想，借助一元二次方程的相關知識來解決問題就變得簡單多了。

（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x-y≠0）可以被看做是一個關于t的一元二次方程（z-x）t2-（z-x）t+（y-z） =0的兩根相等，進一步觀察后可以得到這個方程的兩個相等實根是1，根據韋達定理可以得到：=1，也就可以得到2y=x+z。反之，在x=0的情況下直接得出2y=x+z。可以簡單快速得出題目結論。

最后，數學解題需要具有善于轉化問題的思維特征。國內外數學研究相關文獻報道都指出，數學解題就是命題的連續變換過程，解題是通過轉化問題而得出結論的[3]。通俗地說就是將復雜的問題轉化為若干簡單的問題，將抽象的問題轉化為具體的問題，將未知的問題轉化為已知的知識的過程[4]。

例如：已知a+b+c=++=1，求證a、b、c中至少有一個為1。一般地，學生遇到這種結論并未直接用數學式子表示的數學題比較頭疼。因此需要采用將復雜題目轉化為容易解決的明顯題目的轉化問題思維。

由題目可知a、b、c中至少有一個為1，則（a-1）、（b-1）、（c-1）中至少有一個為0，也就是（a-1）×（b-1）×（c-1）=0。由題目a+b+c=++=1可以得到abc-（ab+ac+bc-1）+（a+b+c）=0，那么（a-1）（b-1）（c-1）=abc-（ab+ac+bc-1）+（a+b+c）=0，則可以得出a、b、c中至少有一個為1。

許多學生只能夠想到在已知條件上進行各種各樣的變化，卻忽視了將文字形式的結論轉化為數字形式的數學式子。學會這種靈活轉化的數學思維，就能夠輕松構建解題策略。

總之，數學解題思維具有變通性，學生不能夠形成思維定勢，限制解題的靈活性。記類型、套公式、記方法都是不可取的，它是學生發散思維，提高多元化解題能力的主要障礙[5]。

二、數學解題思維過程分析

數學解題的思維過程一般包括理解問題、探索思路、轉化問題和解決問題幾個環節，通常可以按照這幾個環節分階段進行解題策略構建。

首先是審題，審題過程中需要細致觀察題目的條件和要求，深入挖掘條件中的關聯元素，從所學知識中找出符合的內容，在思維中構建解題條件和知識間的關系[6]。也就是這一環節的解題思維重心在問題的理解上。其次是探索解題方法。通過有目的的嘗試不同知識的組合，盡可能將未知的復雜題目轉化為已經學過的簡單內容，選擇最佳的解題方案，構建解題策略[7]。這一環節的思維重心則是問題的轉換，通過探索和嘗試確定解題策略，調整解題計劃。第三是解題策略的實施過程，也就是將已經成熟的解題策略完整的展現，書寫解答過程。這一環節是解題思維中最重要的，包含了學生對基礎知識和基本技能通過思維的靈活運用和具體表達。最后是檢查與反思。數學題目解答完畢后需要對最終結果進行檢查和分析，及時發現思維漏洞進行補充。當然，這個環節往往得不到學生的重視，通過問題的反思不僅能夠培養學生較為成熟的數學解題思維，還可以及時發現知識的漏洞，在思維中進行系統化整理[8]。

三、數學解題策略構建技巧

數學解題策略的核心就是變換，將復雜的問題變化為幾個簡單的知識點，通過將幾個知識點關聯起來找到解題的正確思路。這就需要學生熟練掌握數學解題思維，熟悉解題策略構建。通常數學解題策略構建的技巧包括熟悉題型、知識和輔助元素的使用，問題的繁簡轉化，問題的直觀化轉化，問題的一般與特殊轉化，從局部到整體，由直接變間接等幾種[9]。

1.熟悉題型、知識和輔助元素主要是指熟練掌握基礎知識、解題模式，積累解題經驗，遇到陌生題目時可以聯系以往做過的相似題型進行解題策略的借鑒。不能借鑒的可以從結構上進行分析，以自身對題目結構的認識和理解為基礎，轉化為熟悉的知識內容進行解題。當然必要的輔助元素，如點、線、面的輔助作圖，構建數學模型等，都是必不可少的[10]。通過全方位分析題意，充分利用所學知識構建解題策略。

2.問題的繁簡轉化主要是將結構和內容較為復雜，讓人感覺無從下手的題目轉化為一道或幾道較為簡單的題目，通過啟發思路，由簡入繁，推出復雜問題的解題策略[11]。由簡入繁其實也是熟悉題型、知識和輔助元素的補充和發揮。

3.問題的直觀化轉化通俗地說就是將抽象的、難以入手的問題轉化為具體、直觀的，便于學生理解和解答的問題，以便找到解題思路。問題的直觀化轉化方法較多，可以構建圖形，直觀顯示題目中的各個條件，以便分析各條件之間的關聯性；也可以構建圖表，將數據的增減具象化；也可以采用繪制圖象進行函數變化直觀體現。這都可以幫助學生巧妙構建解題策略，延伸做題思路[12]。

4.問題的一般與特殊轉化是雙向的。當學生遇到難以入手的一般性題目時，可以采用引入特殊數值或者特殊條件得出題目某一特殊情況下的結論，以此為突破口，找尋解題的規律，最終發現原題目的解題思路。另一方面，遇到內容較為復雜，各項條件關聯并不明顯的特殊題目時，可以由特殊數值或特殊條件延伸到一般規律，引申到學生熟知和掌握的一般知識，揭示出事物的所屬本質，幫助學生迅速作出判斷，構建正確解題策略[13]。

5.從局部到整體主要是指在解題過程中某一局部處理過程受到阻礙時可以切換視角，從整體入手，全面分析問題，從整體的特性中找到解決局部問題的突破口。

6.由直接變間接則是當學生遇到正面難以解決的問題時，采取迂回的策略，采取間接的方式來得出需要的結論。這就需要學生靈活轉變思維方向，不要陷入思維定式，這樣反而更容易得出正確的解題方法。

結束語

總之，數學解題思維是構建有效解題策略的重要基礎，研究數學解題思維的特征與構建解題策略的方法，對開展教學活動具有重要指導意義，也能夠提高老師對數學解題思維及構建解題策略技巧的掌握性。

參考文獻：

[1] 孟海港.提高中學生數學解題能力，促進思維發展[D].石家莊：河北師范大學，2008.

[2] 孫淑娥，羅增儒.關于數學問題解決思維結構的探析[J].陜西師范大學繼續教育學報，2000，（1）：91-94.

[3] 張鳳梅.高中數學解題策略論議[J].中國校外教育，2011，（17）：114.

[4] 楊茵.高中生復雜問題解決的思維特征研究[D].上海：華東師范大學，2010.

[5] 馬錦蓮.高中數學問題解決探究教學模式的研究和實驗[D].桂林：廣西師范大學，2005.

[6] 晏祖根.現代數學解題策略與素質教育[J].宜春師專學報，2000，（2）.

[7] 王學梅.數學解題的思維特征[J].濟南教育學院學報，2000，（3）：9-61.

[8] 孫延洲.基于創新思維培養的中學數學教育研究[D].武漢：華中師范大學，2012.

[9] 胡香蘭.培養數學思維能力的理論與實踐研究[D].南昌：江西師范大學，2003.

[10] 李兆華.提高高中生數學解題能力的教學策略研究[D].長春：東北師范大學，2006.

[11] 劉慶民.高中生數學解題教學研究[D].曲阜：曲阜師范大學，2007.

[12] 曹榮榮.理工科大一學生高等數學思維的研究[D].上海：華東師范大學，2011.

[13] 湯衛紅.讓學生自主建構解題策略的表征[N].中國教師報，2009-01-21.[責任編輯 陳 鶴]