高中數學解題中向量的有效運用

摘 要： 高中數學向量知識的學習和應用，有助于學生更好地體會數學與生活及其他學科之間的聯系，進而理解數學的使用價值.本文首先闡述向量的基本知識，然后重點探討向量在高中數學解題中的應用.

關鍵詞： 高中數學解題 向量 運用

長期以來，高中學生面對大量的習題，一些學生在解題時往往沒有頭緒，不知從何下手.向量是高中數學教學的一部分，也是重要內容之一.在高中代數、幾何及三角函數中都得到了廣泛應用.尤其隨著新課程的不斷改革，學生學習時不僅要掌握一章的相關知識，而且需要建立章節之間的聯系，靈活運用各章知識.為此，必須加強向量在高中數學解題中的有效運用，提高學生的解題效率，減輕學生的學習壓力.

一、向量的認識

向量早在十九世紀就已經成為物理學家、數學家研究和應用的對象.到了二十世紀，向量被引入數學教學領域.我國于上個世紀九十年代將向量并入了高中數學教學大綱中，成為高中數學教學的重要內容.

1.向量是重要的數學應用模型

向量中應用V代表集合，V構成了向量的加法運算交換群.V中，向量的數量積運算能夠表達出向量的長度，當V中的向量長度有了實際意義后，（V，R）對于向量的實數、加法及向量的乘法運算均構成了線性范疇.它是數學建模中的重要組成部分，同時也是線性代數、抽象代數、泛函分析的重要研究對象.因而，應用向量知識，能夠很好地理解泛函分析、線性代數及抽象代數等基本的數學模型.

2.向量是連接幾何、代數的紐帶

向量是有向線段，因而可以表示物體的位置；而物體的位置和形狀，是幾何學的研究對象，因而向量也就可以從幾何學的角度來理解.由于向量有長度，因而可以利用其刻畫物體的面積、體積、長度等基本的幾何度量問題；由于向量具有方向性，因而可以應用向量描述平面、直線等幾何對象的位置關系；代數研究中，有關加、減、乘、除的運算，也同樣適用于向量的代數運算中，因而向量運算可以解決代數問題.

二、向量在高中數學解題中的應用

對于高三學生來說，普遍具有一種思想認識，那就是認為時間比較緊，希望自己能夠把時間都花在解大量的習題上，對于見過的習題則很少進行思考.這種解題上的誤區在于高三學生認為數學解題能力和解題數量成正比例關系，他們解題更多的是為了完成任務，缺少解題中的反思過程.所以在高三數學教學中，要培養學生的獨立思考習慣.采取正確的解題技巧可提高他們的解題能力，使其成為學習的主人.

1.向量在立體幾何中的應用

向量在立體幾何中應用，與在平面幾何中的應用模式一致，但加入了立體幾何中的空間想象，使得學生在傳統的幾何問題處理模式中存在一定的差異，因而，采用向量法能夠促使幾何問題簡化，化繁為簡，找到問題答案.

例題：在正方體ABCD-A■B■C■D■中，E是DD■的中點.在棱C■D■上是否存在一點F，使B■F∥平面A■BE，證明你的結論.本題可以應用向量法求解.如下圖1所示：

圖1

解析：以A為坐標原點，建立坐標系，設正方形的棱長為2，則B（2，2，0），E（0，2，1），A■（0，0，2），B■（2，0，2），

∴■=（-2，2，1），BA■=（-2，0，2）.

設面BEA■的法向量為m=（x，y，z），則

m·BE=-2x+2y+z=0且m·BA■=2x，2z=0，取x=1，則z=-1，y=■，∴m=（1，■，-1）.

假設在棱C■D■上是存在一點F，使B■F∥平面A■BE，設F（x■，2，2），（0≤x≤2），則■=（x■-2，2，2），則m·■=1×（x■-2）-■×2-（-1）×2=0，解得x■=1，∴當F為C■D■中點時，B■F∥平面A■BE.

2.向量在平面幾何中的應用

（1）利用向量法求出直線方程

例如：已知三角形ABC的三個頂點分別為A（0，-4），B（4，0），C（-6，2），點E、F、D分別是AB，AC，BC的中點，求直線FD、EF、DE的方程.

解析：已知三角形三個頂點的坐標，A（0，-4），B（4，0），C（-6，2），能夠得知中點F，D，E的坐標分別為（2，-2），（-1，1），（-3，-1）.設M（x，y）為DE上的一個點，由于■∥■，可以求出DE所在方程，同理，可以求出EF、FD所在的方程.

利用向量分析幾何元素之間的關系將上述問題轉換為共線向量與直線向量的問題，就能夠得出EF，FD的直線方程.

（2）向量法在不等式中的應用

在求解不等式的過程中，可以采用向量法.例如，■±■的結構，可以構造向量的和與差，利用向量的三角不等式|■|-|■|≤|■+■|≤|■|+|■|求解.

例題：證明■+■≥5

證明：設■=（x-2），■=（5-x，1），由|■|+|■|≥|■±■|得出■+■≥■，結論■+■≥5.

利用向量法求解，比三角代換、兩點間的距離公式等都簡單，且解法新穎、構思巧妙，同時也可以為學生展示出數學建模的整個過程，即問題—建模—還原，發揮向量的工具性作用.

3.向量在三角函數中的應用

向量在三角函數中的應用，可以用來證明正余弦的兩角和與兩角差的問題.例如：證明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

證明：設（e■，e■）是平面上的標準正交基，a，b是平面上的單位向量，a與e■的夾角為a，b，與e■的夾角為β，且a>β.向量a在（e■，e■）下的坐標為（cosα，cosβ），向量b在（e■，e■）下的坐標為（cosβ，sinβ），則有|a|=|b|=1.所以■·■=|■|·|■|cos（α-β）=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

由此可見，三角函數中采用向量解法，能夠借用幾何的直觀性、簡潔性，更好地完成求解過程.

回顧以往，高中數學中的幾何學習往往是基于一個圖形的性質進而推出另一個圖形的性質，缺乏一定的創新性.這種解題模式缺乏一定的規律性，使得學生難以掌握解題技巧，提高解題的速度及正確率.而向量中的“形—數”推理法，有較強的規律性，適合高中學生應用.同時，三角函數是高中數學的重要內容之一，提高學生的解題速度及正確率，有利于學生在考試中取得優秀成績.總而言之，向量作為一種數學工具，可以應用其相關知識與理論、運算方法，化繁為簡，進行求解，從而在很大程度上減少運算量，更有利于培養學生的創新意識.

參考文獻：

[1]盧曉艷.高中向量數學的難點突破初探[D].華中師范大學，2010.

[2]張廣飛.高中數學教學中向量教學的應用研究[J].中學生數理化（學研版），2013，（5）：91.