數學建模案例在高等數學教學中的應用

張云霞 肖莉娜

摘 要：本文介紹了數學建模與高等數學結合的重要性，并通過幾個數學建模案例說明如何在高等數學課程中應用數學建模思想。

關鍵詞：高等院校；高等數學；數學建模案例

高等數學是高等院校理工科和經管類學生必修的一門數學基礎課程，直接關系到學生后續數學課程和專業課程的學習。然而，現在的教學模式過分強調數學知識的理論性和技巧性，忽略了數學的應用性。而數學建模在提高學生學習數學的興趣，提高學生主動獲取知識的能力，培養學生應用知識解決實際問題的能力等方面體現了重要的作用。因此，將數學建模的思想融入日常的高等數學的課程教學中是當今高等數學課程教學改革的主要趨勢。

1 在高等數學教學過程中融入數學建模思想的必要性

傳統的數學課程體系偏重理論、注重推理，淡化知識的實際背景，使教學與實際割裂開來，導致學生即使學了很多的公式、定理，也不能用其解決實際問題。而數學建模就為我們提供了這一平臺，使學生在熟練掌握數學基本知識的同時，增強了分析、解決實際問題的能力。

1.1 調動學生積極性、激發學生的學習熱情

在高等數學的教學中融入數學建模思想，可以加深學生對數學概念的理解、定理的運用，認清數學知識的來龍去脈，發現數學的應用價值，比之枯燥的理論講解更能激發學生學習的熱情。

1.2 培養學生的創新能力

在高等數學的教學中，通過融入數學建模的思想和方法，從問題出發，建立數學模型進行解決。在數學建模活動中，學生要經歷分析問題、搜集資料、調查研究、建立模型、求解、完成論文的過程，整個建模過程給了學生充分的思考空間，發揮自身的創造性思維，同時提高學生把數學應用于實際問題的能力。

1.3 培養學生的綜合素質

在高等數學的教學中融入數學建模的思想，能培養學生抽象分析能力、數學應用能力、計算機應用能力、資料檢索能力以及通過實踐加以驗證的能力，同時培養學生的創造力、想象力和洞察力，培養學生組織、管理、協調、合作能力，提高學生的語言交流、文字表達和論文寫作能力等，使學生的綜合素質能夠全面提高。

2 在高等數學教學內容中融入數學建模案例的兩個實例

數學建模思想融入高等數學教學中的一個直接有效的方法是在教學過程中引入與教學內容相關的簡單數學模型案例。數學模型案例來自實際生活的不同領域。通過解決這些具體事例，不但能讓學生掌握數學概念及原理，而且極大地提高了學生運用所學知識解決實際問題的能力，增強學生學習數學的興趣和信心。

例如，在講授極限思想時，可以講授宋代數學家劉徽的割圓術，讓學生體會極限的思想；在講授導數概念的時候，可以結合學生的專業講授與學生專業相關的案例，讓學生從案例中體會數學概念的由來，并看到數學在本專業中的應用。下面我們具體看幾個案例：

案例一：零點存在定理與椅子放平問題

在講授閉區間上連續函數的零點定理時，我們可以結合日常生活中的問題：“椅子能在不平的地面上放穩嗎？”通過這個案例的講解，可以激發學生的學習興趣，同時學生也能深刻的體會到數學知識的應用。

經過一些合理假設后建立模型：首先用變量表示椅子的位置，由于椅腳的連線呈正方形，以中心為對稱點，正方形繞中心的旋轉正好代表了椅子的位置的改變，于是可以用旋轉角度這一變量來表示椅子的位置。

其次要把椅腳著地用數學符號表示出來，如果用某個變量表示椅腳與地面的豎直距離，當這個距離為0時，表示椅腳著地了。椅子要挪動位置說明這個距離是位置變量的函數。

由于正方形的中心對稱性，只要設兩個距離函數就行了，記A、C兩腳與地面距離之和為，B、D兩腳與地面距離之和為，顯然、，由假設2知f、g都是連續函數，再由假設3知、至少有一個為0。當時，不妨設，這樣改變椅子的位置使四只腳同時著地，就歸結為如下命題：

命題：已知、是的連續函數，對任意，*=0，且，則存在，使。

證明：將椅子旋轉90°，對角線AC和BD互換，由可知。令，則，由f、g的連續性知h也是連續函數，由零點定理，必存在使，，由，所以。

案例二：微分方程與“男生追女生”數學模型

在講授微分方程的時候可以結合“男生追女生”的數學模型，學生對這個問題會產生極大的興趣，可以切身體會到數學在實際生活中的應用，同時鼓勵學生自己建立一個“女生追男生”的數學模型。

首先對模型進行一些必要的假設：

（1）t時刻A君的學業成績為Y（t）；t時刻B女對A君的疏遠度為X（t）；

（2）當A君沒開始追求B女時B女對A君的疏遠度增長（平時發現的A君的不良行為）符合Malthus模型，即，其中a為正常數。

（3）當Y（t）存在時，單位時間內減少X（t）的值與X（t）的值成正比，比例常數為b，從而

（4）A君發起對B女追求后，立即轉化為B女對A君的好感，并設定轉化系數為α，而隨著的A君發起對B女的追求，A君學業的自然下降率與學業成績成正比，比例系數為e。于是有

由假設3和假設4，就得到了學業與疏遠度在無外界干擾的情況下互相作用的模型：； 其中（1）

系統（1）的兩個平衡位置為：。從（1）的兩方程中消去dt，分離變量可求得首次積分： （2）

容易求出函數有唯一駐點為，是F的極小值點。

同時易見，當（B女對A君恨之入骨）或（A君是一塊只會學習的木頭）時均有；而（A君作了變形手術，B女對他毫無防備）或（A君不學無術，絲毫不學習）時也有。

從生態意義上看這是容易理解的，當A君的學習成績下降時，B女會疏遠 A君，疏遠度上升；于是A君就又開始奮發圖強，學習成績又上升了。于是B女就又和A君開始了來往，疏遠度又下降了。與B女交往多了，當然分散了學習時間，A君的學習成績下降了。考試期間，由于功課繁忙，使得追求攻勢減少，即h減小，與平時相比，將有利于學業成績Y的增長。 這就是Volterra原理。 此原理對男生有著重要的指導意義：強大的愛情攻勢有時不一定能達到滿意的效果，反而不利與學業的成長；有時通過慢慢接觸，慢慢了解，再加上適當的追求行動，女生的疏遠度就會慢慢降低。學習成績也不會降低！

參考文獻

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