數(shù)學(xué)建模案例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

張云霞 肖莉娜

摘 要：本文介紹了數(shù)學(xué)建模與高等數(shù)學(xué)結(jié)合的重要性，并通過幾個數(shù)學(xué)建模案例說明如何在高等數(shù)學(xué)課程中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想。

關(guān)鍵詞：高等院校；高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模案例

高等數(shù)學(xué)是高等院校理工科和經(jīng)管類學(xué)生必修的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，直接關(guān)系到學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)課程和專業(yè)課程的學(xué)習(xí)。然而，現(xiàn)在的教學(xué)模式過分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識的理論性和技巧性，忽略了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。而數(shù)學(xué)建模在提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生主動獲取知識的能力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識解決實際問題的能力等方面體現(xiàn)了重要的作用。因此，將數(shù)學(xué)建模的思想融入日常的高等數(shù)學(xué)的課程教學(xué)中是當(dāng)今高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的主要趨勢。

1 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模思想的必要性

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程體系偏重理論、注重推理，淡化知識的實際背景，使教學(xué)與實際割裂開來，導(dǎo)致學(xué)生即使學(xué)了很多的公式、定理，也不能用其解決實際問題。而數(shù)學(xué)建模就為我們提供了這一平臺，使學(xué)生在熟練掌握數(shù)學(xué)基本知識的同時，增強(qiáng)了分析、解決實際問題的能力。

1.1 調(diào)動學(xué)生積極性、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解、定理的運(yùn)用，認(rèn)清數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，比之枯燥的理論講解更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。

1.2 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，通過融入數(shù)學(xué)建模的思想和方法，從問題出發(fā)，建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決。在數(shù)學(xué)建模活動中，學(xué)生要經(jīng)歷分析問題、搜集資料、調(diào)查研究、建立模型、求解、完成論文的過程，整個建模過程給了學(xué)生充分的思考空間，發(fā)揮自身的創(chuàng)造性思維，同時提高學(xué)生把數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際問題的能力。

1.3 培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想，能培養(yǎng)學(xué)生抽象分析能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、計算機(jī)應(yīng)用能力、資料檢索能力以及通過實踐加以驗證的能力，同時培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力、想象力和洞察力，培養(yǎng)學(xué)生組織、管理、協(xié)調(diào)、合作能力，提高學(xué)生的語言交流、文字表達(dá)和論文寫作能力等，使學(xué)生的綜合素質(zhì)能夠全面提高。

2 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中融入數(shù)學(xué)建模案例的兩個實例

數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個直接有效的方法是在教學(xué)過程中引入與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的簡單數(shù)學(xué)模型案例。數(shù)學(xué)模型案例來自實際生活的不同領(lǐng)域。通過解決這些具體事例，不但能讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念及原理，而且極大地提高了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決實際問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。

例如，在講授極限思想時，可以講授宋代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)，讓學(xué)生體會極限的思想；在講授導(dǎo)數(shù)概念的時候，可以結(jié)合學(xué)生的專業(yè)講授與學(xué)生專業(yè)相關(guān)的案例，讓學(xué)生從案例中體會數(shù)學(xué)概念的由來，并看到數(shù)學(xué)在本專業(yè)中的應(yīng)用。下面我們具體看幾個案例：

案例一：零點(diǎn)存在定理與椅子放平問題

在講授閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理時，我們可以結(jié)合日常生活中的問題：“椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？”通過這個案例的講解，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時學(xué)生也能深刻的體會到數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用。

經(jīng)過一些合理假設(shè)后建立模型：首先用變量表示椅子的位置，由于椅腳的連線呈正方形，以中心為對稱點(diǎn)，正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)正好代表了椅子的位置的改變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量來表示椅子的位置。

其次要把椅腳著地用數(shù)學(xué)符號表示出來，如果用某個變量表示椅腳與地面的豎直距離，當(dāng)這個距離為0時，表示椅腳著地了。椅子要挪動位置說明這個距離是位置變量的函數(shù)。

由于正方形的中心對稱性，只要設(shè)兩個距離函數(shù)就行了，記A、C兩腳與地面距離之和為，B、D兩腳與地面距離之和為，顯然、，由假設(shè)2知f、g都是連續(xù)函數(shù)，再由假設(shè)3知、至少有一個為0。當(dāng)時，不妨設(shè)，這樣改變椅子的位置使四只腳同時著地，就歸結(jié)為如下命題：

命題：已知、是的連續(xù)函數(shù)，對任意，*=0，且，則存在，使。

證明：將椅子旋轉(zhuǎn)90°，對角線AC和BD互換，由可知。令，則，由f、g的連續(xù)性知h也是連續(xù)函數(shù)，由零點(diǎn)定理，必存在使，，由，所以。

案例二：微分方程與“男生追女生”數(shù)學(xué)模型

在講授微分方程的時候可以結(jié)合“男生追女生”的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生對這個問題會產(chǎn)生極大的興趣，可以切身體會到數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用，同時鼓勵學(xué)生自己建立一個“女生追男生”的數(shù)學(xué)模型。

首先對模型進(jìn)行一些必要的假設(shè)：

（1）t時刻A君的學(xué)業(yè)成績?yōu)閅（t）；t時刻B女對A君的疏遠(yuǎn)度為X（t）；

（2）當(dāng)A君沒開始追求B女時B女對A君的疏遠(yuǎn)度增長（平時發(fā)現(xiàn)的A君的不良行為）符合Malthus模型，即，其中a為正常數(shù)。

（3）當(dāng)Y（t）存在時，單位時間內(nèi)減少X（t）的值與X（t）的值成正比，比例常數(shù)為b，從而

（4）A君發(fā)起對B女追求后，立即轉(zhuǎn)化為B女對A君的好感，并設(shè)定轉(zhuǎn)化系數(shù)為α，而隨著的A君發(fā)起對B女的追求，A君學(xué)業(yè)的自然下降率與學(xué)業(yè)成績成正比，比例系數(shù)為e。于是有

由假設(shè)3和假設(shè)4，就得到了學(xué)業(yè)與疏遠(yuǎn)度在無外界干擾的情況下互相作用的模型：； 其中（1）

系統(tǒng)（1）的兩個平衡位置為：。從（1）的兩方程中消去dt，分離變量可求得首次積分： （2）

容易求出函數(shù)有唯一駐點(diǎn)為，是F的極小值點(diǎn)。

同時易見，當(dāng)（B女對A君恨之入骨）或（A君是一塊只會學(xué)習(xí)的木頭）時均有；而（A君作了變形手術(shù)，B女對他毫無防備）或（A君不學(xué)無術(shù)，絲毫不學(xué)習(xí)）時也有。

從生態(tài)意義上看這是容易理解的，當(dāng)A君的學(xué)習(xí)成績下降時，B女會疏遠(yuǎn) A君，疏遠(yuǎn)度上升；于是A君就又開始奮發(fā)圖強(qiáng)，學(xué)習(xí)成績又上升了。于是B女就又和A君開始了來往，疏遠(yuǎn)度又下降了。與B女交往多了，當(dāng)然分散了學(xué)習(xí)時間，A君的學(xué)習(xí)成績下降了。考試期間，由于功課繁忙，使得追求攻勢減少，即h減小，與平時相比，將有利于學(xué)業(yè)成績Y的增長。 這就是Volterra原理。 此原理對男生有著重要的指導(dǎo)意義：強(qiáng)大的愛情攻勢有時不一定能達(dá)到滿意的效果，反而不利與學(xué)業(yè)的成長；有時通過慢慢接觸，慢慢了解，再加上適當(dāng)?shù)淖非笮袆樱氖柽h(yuǎn)度就會慢慢降低。學(xué)習(xí)成績也不會降低！

參考文獻(xiàn)

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