對素數分布趨勢的創新發現

摘 要：傳統的觀念認為素數在整個自然數域的分布趨勢為：“在自然數數列不斷增大中，素數在其分布將越來越稀疏?！比欢?，在對素數分布趨勢的教學研究中發現：將自然數列中的素數按照某一規律重新排隊，得到的素數數列卻是一個“無窮遞增數列”，它絲毫不受“越來越稀疏”的影響。當自然數n趨向于無窮大時，自然數增大2倍，素數也同時增大2倍。將素數數列無窮遞增的現象總結為“李君池素數定理”?！袄罹厮財刀ɡ怼钡摹斑f增”思想徹底改變了“稀疏”這一傳統觀念的看法。

關鍵詞：素數分布；素數數列；無窮遞增；“李君池素數定理”

一、對傳統素數分布趨勢的思考

在進行素數的教學中，有一個繞不開的話題，就是：素數在自然數中的分布問題。素數在自然數中的分布情況究竟怎樣，雖然相對于中學生來說，難度是大了一些。但是，我們一不能遇到難題就繞路而走；二也不能由此而向學生傳授錯誤的內容；三更不能因為是難題而封閉了學生積極開放的思維、思路。我們提倡的方法是：將難題提出來，和學生們共同探討，有時不一定會有結果，但有時就會有新的發現，甚至有時會有意想不到的收獲。本文的內容就是在輔導學生的過程中所得到的結論和結果。這個結論打破了人們傳統的思維定勢，把人們的思維引向了一個全新的天

地，它對于學生以及數學愛好者在今后的數學學習中、在解某些數論難題中都會有著極大的幫助。

幾個世紀以來，人們在翻看“素數表”時，從素數表中看到的是這樣一些數據：在1到100中間有25個素數，在1到1000中間有168個素數，在1000到2000中間有135個素數，在2000到3000中間有127個素數，在3000到4000中間有120個素數，在4000到5000中間有119個素數，在5000到10000中間有560個素數……

于是，人們得出的結論是：素數在整個自然數域的分布趨勢為：“在自然數數列不斷增大中，素數在其分布將越來越稀疏，甚至會出現兩相鄰素數相隔數十、數百、數千、數萬、數億…個合數數位的各種情況，即存在兩相鄰素數相隔任意大的各種情況。”長期以來，這種“素數分布越往上越稀少”的觀念禁閉了人們的頭腦，使得人們在數論研究方面多年來沒有大的突破，同時，也由于素數分布“越來越稀”的“現象”，成了“哥猜、孿猜”等素論問題破解道路上的攔路虎，使得“哥猜、孿猜”這一類的素論問題至今沒能徹底解決。因此，這一傳統的思維必須來個徹底地更新。

素數分布真的是越往上越稀少嗎？對于同樣是“素數在整個自然數域的分布趨勢”問題，如果我們換一種思路來考慮問題，將會得出完全相反的結論。例如，我們將所有的素數集合按照某種規律重新排隊，那種“素數分布越來越稀疏”的思維、觀念或許就會發生根本性的變化。

二、建一個無窮遞增的素數數列

如何建立一個“無窮遞增的素數數列”？不同的人有不同的方法，但如何證明自己建立的“數列”，卻令人望而卻步，例如：對上一節中建立的“無窮遞增的素數數列”，就讓人無從下手。為了使自己建立的“數列”能夠得以證明，在建立之初就必須考慮好要有可以證明的方法。

本文所建立的“無窮遞增素數數列”，首先要借用的工具還是“自然數圓形排列圖”，因為創建這個“數列”的靈感同樣是由“自然數圓形排列圖”得到的，是建立在“自然數圓形排列圖”的基礎之上的。（關于“自然數圓形排列圖”內容參見《世界上第一個求素數公式》一文）

我們把“自然數圓形排列圖”前幾圈中的素數找出來，排成一個數列：在這個排列圖的第一圈中有2個素數，第二圈中有2個，第三圈中有4個，第四圈中有6個，第五圈中有9個，第六圈中有19個，第七圈中有33個，第八圈中有59個，第九圈中有107個，第十圈中有197個，第十一圈中有362個，第十二圈中有669個素數，第十三圈中有1256個，第十四圈中有2326個，第十五圈中有4388個，第十六圈中有8265個，第十七圈中有15631個，第十八圈中有29611個，第十九圈中有56322個，第二十圈中有107281個，第二十一圈中有204953個，第二十二圈中有392247個，第二十三圈中有751912個…。當然，如果我們繼續努力，還可以繼續統計下去。我們先將統計的結果總結如下：

名詞“李君池素數數列”。（自我命名）

為了不失一般性，我們可以將“定理1”整理如下：

定理2：“李君池素數定理”。（自我命名）

設n為大于2的自然數，用？準（n→2n）表示n→2n之間的所有素數的個數；用？準（2n→4n）表示2n→4n之間的所有素數的個數；當n趨向于無窮大時，有■■=2，即當n趨向于無窮大時，自然數的個數擴大2倍，其中素數的個數也一定擴大2倍。

這一定理，我們稱之為“李君池素數定理（即素數的倍比關系定理）”。

這一定理是由定理1推廣得到的。在由“自然數圈”建立的“無窮遞增素數數列”中，當圈數f趨向于無窮大時，后一圈中素數的個數與前一圈中素數個數的比值等于2。同樣道理，設n是任意自然數，當n趨向于無窮大時，2n中素數的個數與n中素數個數之比，其比值也一定等于2。

“李君池素數定理”定理告訴我們：自然數中的素數不僅是無窮的，而且還按照一定的規律無窮遞增的。這個定理的產生，是對傳統“稀疏”觀念的一次革命性的轉變，它對于解決許多較為難以解決的數論難題將有著極大的幫助。

四、對傳統觀念的剖析

我們的分析還是要從“自然數圈”說起。在自然數圈中，前十四圈中是不存在“兩相鄰素數相隔數十個合數數位的情況”的，而能夠出現這種情況的，一定要比第十四圈要大得多；前二十圈中是不存在“兩相鄰素數相隔數百個合數數位的情況”的，能夠出現這種情況的，也一定要比第二十圈要大得多；出現“兩相鄰素數相隔數千、數萬、數億……個合數數位”的情況，一定是在非常大非常大的素數圈中。前面我們已經知道，第十四圈中有2326個素數，如果是在第十四圈中出現了“兩相鄰素數相隔數十個合數數位的情況”，也一定是隱藏在這2326個素數之中，絲毫不會減少素數個數的出現；如果是出現在第十五圈、第十六圈……第一百圈中，同樣絲毫不會減少本圈中素數個數的出現。

“李君池素數定理”定理告訴我們：自然數中的素數不僅是無窮的，而且還按照一定的規律無窮遞增的。所以，“兩相鄰素數相隔數十個合數數位的情況”，無論是出現在哪一個自然數圈中，都絲毫不會減少這一圈中素數的個數。同樣的道理，“兩相鄰素數相隔任意大的各種情況”都是隱藏在各個不同的自然數圈中，即使出現了在一個自然數圈中“兩相鄰素數相隔一百個、一千個、一萬個、一億個……”這種情況，它也絲毫也不會減少這一圈中素數的個數，因為自然數圈中素數的個數是“無窮遞增”的。有人會說，如果上述情況出現在兩個自然數圈中，也就是橫跨兩個自然數圈呢？那它就更不會對自然數圈中素數的個數產生影響了，因為每一個自然數圈都是獨立的，都是單獨統計的，無論落在哪兩圈中都絲毫不會減少這兩圈中素數的個數?，F在，我們還會擔心“存在兩相鄰素數相隔任意大的各種情況”這句話嗎？從數值上來說，無論“間隔”是何種情況，都一定會出現在自然數圈之中，都不會減少這一自然數圈中素數的個數。任一自然數圈中素數的個數是恒定的、是按照遞增的方向發展的！

“李君池素數定理”的實質是要告訴我們，只有換一種思路看問題才能不被迷霧遮住了雙眼。當我們用“倍比關系”來看問題時，就會得出與傳統觀念完全相反的結論：不管素數的分布越往上越是怎樣的稀少，也不管兩素數之間的間隔有多大，只要是自然數在某一基礎上擴大2倍，其中素數的個數將會逐步擴大到1.7幾倍、1.8幾倍、1.9幾倍，當n趨向于無窮大時，素數的個數也就擴大到了2倍。這種關系，我們稱之為“李君池素數定理（素數的倍比關系定理）”。正是由于“素數的倍比關系”的存在，我們才能理直氣壯地指出“素數的分布越往上越稀少”這種看法犯了以偏概全的錯誤。

（作者單位 安徽省地質礦產局327地質隊）