動里含對稱變中有定性

胡仁本

圓錐曲線大多有著良好的對稱性，涉及到它們的諸多問題中，含有對稱性的某些元素發生變化時往往伴隨著有些固定的東西呈現，例如符合條件的曲線過定點，符合條件的點在某條直線或曲線上，或符合條件的式子為定值等等，這就是對稱的美回饋一份定性的美。本文試圖以橢圓和圓為例，對一些含對稱的元素在運動中所涉及的定值、定形等加以粗淺的探討，同時對問題的解決所涉及的數學思想方法加以膚淺的總結。

一、對稱點為兩個

例1則是它的特殊情形。但例1的兩個對稱點是焦點，它的解法還可以借助橢圓的第二定義解決問題。

2.關于選參

例1、例2、等題選的是點的坐標作為參數，簡稱為點參；例3選的是直線的斜率或其倒數作為參數，簡稱線參；有時也選擇線段的比值作為參數簡稱比參；有時可以設有關曲線的參數方程又涉及位移作為參數，或以角作為參數等等。到底選什么做參數，這就要視具體問題而定。

3.重思想，應萬變

任憑題目千變萬化，但重要的數學思想是不變的。比如涉及的設而不求思想、參數思想、主元思想、對稱思想、減參消元思想、必要條件先行充分條件鎖定思想等等。如果我們的學生形成了主要的數學思想，學會了主要的數學方法，就等于找到了解決問題的萬能鑰匙，跳出題海，以不變應萬變。

以上淺見，如有不對之處，敬請同仁斧正。

（作者單位 江蘇省蘇州吳中區甪直中學）