基于攝動法的多條裂紋歐拉梁特征模態分析

郭智剛，孫 智

(1.同濟大學 土木工程學院橋梁工程系，上海 200092;2.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092)

梁是工程結構中最常使用的一類構件，在復雜的工作環境下可能會產生裂紋損傷，這些裂紋損傷對結構的正常工作是相當不利的。結構中裂紋的出現引起局部剛度的改變，從而在一定程度上影響了結構整體的動力特性，導致結構參數如頻響函數和模態參數等隨之改變。因此，如何準確地模擬和分析裂紋對梁動力特性的影響對梁裂紋的動力識別具有重要意義。

為此，國內外許多學者研究了裂紋對這類結構構件的動力特征的影響。一些學者采用無質量轉動等效彈簧模擬裂紋，并分別對梁［1－7］、管道［8－9］等進行了理論分析和實驗研究。然而模擬裂紋的等效彈簧模型計算公式復雜，而且不能直接描述裂紋特性。因此，相關研究出現了另一種方法［10－12］，即直接將梁開口裂紋模擬成梁微段內的橫截面折減并用攝動法分析裂紋梁的動力特性和曲率模態。但是現有的工作只對單個裂紋進行了討論，沒有討論多條裂紋的動力模擬方法和對動力參數的影響。

本文基于一階攝動方法推導了含多條裂紋的裂紋梁的固有頻率和模態振型的近似解析表達式，并研究了多條裂紋下裂紋梁模態參數的變化規律。

1 理論方法

1.1 裂紋梁動力建模

圖1為一矩形截面簡支梁模型，梁的長、寬、高分別為l、b、h。假定在梁的xd處有一裂紋損傷，裂紋深度為hd，寬度為Δl，則損傷部分梁的截面轉動慣量為:

圖1 裂紋梁的結構模型Fig.1 The cracked beam model

同理，令m0=ρbh，ρ為材料密度，在梁的損傷部分，單位長度梁的質量為:

如果在梁的xd處的極小區域內發生裂紋損傷，在Δl微小的情況下，考慮在梁的全部長度上，其截面慣性矩的函數表達式可以用δ函數表示為:

這樣在梁發生多個裂紋損傷時，截面轉動慣量的函數表達式為:

同理，在梁的全長上，單位長度的質量也可以表示為:

將式(4)和式(6)及彈性模量 E代入 Euler－Bernoulli梁的自由振動方程，則裂紋梁的自由振動方程可表達為:

裂紋梁的自由振動特征值表達式為:

1.2 裂紋梁特征模態參數的攝動解

考慮到梁的局部微小損傷，因而ε、Δl都是一個很小的量，假定損傷后結構的特征值和模態振型是損傷前的一個微小擾動，根據一階攝動理論，損傷后的特征值和模態振型可表示為:

將式(13)代入式(12)，可得:

將式(14)乘以第q階損傷前的模態振型φ0q，并在整個梁長度上積分，考慮到模態的正交性，可得:

式(15)中右端的第一項積分部分可簡化為:

將式(16)代入式(15)，可得:

由式(17)并考慮模態正交性可得:

由于模態振型具有正交性，即:

將式(6)和式(10)代入式(20)，并按系數項展開，略去兩階以上的項，整理后可得:

將式(13)乘以m0φ0p，并在整個梁長度上積分，可得:

當p=q時，式(23)可化簡為:

將式(22)代入式(24)可得:

將式(18)代入式(9)可求得裂紋梁的特征值為:

將式(13)、式(19)、式(25)代入式(10)可求得裂紋梁的彎曲模態振型為:

式中:

裂紋梁的彎曲模態曲率可由式(27)對x求二階導得到

2 帶裂紋簡支梁模態分析

采用如上所述攝動法，本文分析了帶裂紋簡支梁的模態頻率和振型。簡支梁物理參數如表1所示。攝動法分析時，完整梁 p階模態特征值和質量歸一振型采用如下閉合解:

表1 裂紋梁的材料特性Tab.1 Material properties of cracked beam

2.1 數值驗證

為了驗證方法的準確性和適用范圍，本研究根據結構物理參數和裂紋情況建立有限元分析模型，計算了不同裂紋相對位置xd/L、裂紋相對寬度Δl/L、以及裂紋相對深度ε下攝動法模態頻率與有限元計算的模態頻率相對計算誤差。相對計算誤差公式表示為:

其中:η為攝動法計算的模態頻率與有限元計算的模態頻率相對計算誤差，f～為攝動法計算的模態頻率，f為有限元計算的模態頻率。本文的有限元計算采用梁單元模型［14］，分析過程中將梁劃分成單元，裂紋損傷區域單獨劃分為一個單元，并對該帶裂紋梁的有限元模型進行特征分析，求解結構特征頻率和振型。

圖2所示為設定裂紋位置為0.40 L時，在不同裂紋相對寬度的情況下模態頻率相對計算誤差隨裂紋相對深度的變化。圖3所示為設定裂紋相對寬度為0.1時，在不同裂紋相對位置的情況下模態頻率相對計算誤差隨裂紋相對深度的變化。如圖所示，本文方法對于梁裂紋越窄越淺時特征模態分析的結果越準確。系列研究表明如果設定0.5%的模態頻率相對計算誤差為可接受的誤差范圍，本文方法適用于梁上有寬度小于0.1 L、深度小于0.1 h的裂紋梁的特征模態分析。

2.2 帶裂紋梁模態頻率分析

基于上述推導，本文進一步研究了結構裂紋對梁頻率的影響。圖4為簡支梁在單條裂紋作用下前兩階損傷后頻率ωd與損傷前頻率ωu的比值隨裂紋位置變化而變化的曲線圖。裂紋相對深度分別取ε=0.02、0.04、0.06、0.08、0.10。圖 4 表明:① 隨著裂紋深度的增大，各階頻率相應減小;② 位于振型反彎點處的裂紋不會引起梁的頻率變化;③ 導致該階頻率變化最大的裂紋位于該階振型的峰值部位。這些特征可用于基于頻率監測的梁裂紋識別。

2.3 帶裂紋梁模態振型分析

本文同時研究了裂紋對該簡支梁的模態振型和模態曲率的影響。圖5為帶單條裂紋簡支梁的前三階模態振型。裂紋相對深度ε=0.08，位置0.4L。圖5表明裂紋不大的情況下，簡支梁的模態振型和損傷前的模態振型一致，并無明顯突起。圖6為帶單條裂紋簡支梁的前三階模態曲率。該圖表明梁的三階模態曲率在裂紋位置處均有明顯的凸起。用模態曲率進行梁的裂紋位置識別，識別效果將明顯優于模態振型。

圖2 在不同裂紋相對寬度下簡支梁一、二階模態頻率相對差隨裂紋相對深度的變化(xd=0.40L)Fig.2 Relative modal frequency change of the(a)first mode and(b)second mode versus relative crack depth change for given relative crack widths

圖3 不同裂紋位置下簡支梁一、二階模態頻率相對差隨裂紋相對深度的變化(Δl/L=0.1)Fig.3 Relative modal frequency change of the(a)first mode and(b)second mode versus relative crack depth change for given relative crack locations

圖4 單條裂紋下簡支梁前兩階頻率比隨裂紋位置變化而變化的曲線圖Fig.4 Relative frequency ratio versus relative location change for given relative crack depths of the(a)first mode and(b)second mode

圖5 帶裂紋簡支梁前三階模態振型Fig.5 The first three mode shapes for cracked simply supported beam

圖6 裂紋產生后簡支梁前三階模態曲率Fig.6 The first three modes of mode shape curvatures for cracked simply supported beam

圖7 第2條裂紋產生后簡支梁前兩階頻率比隨裂紋位置變化而變化的曲線圖Fig.7 Relative frequency ratio of the(a)first mode and(b)second mode versus relative location change of the second crack for the simply supported beam with one crack at given locations

圖8 兩條裂紋產生后簡支梁前三階模態曲率Fig.8 The first three orders of mode shape curvatures for simply supported beam with two cracks

2.4 多條裂紋對模態參數的影響分析

本文同時研究了多條裂紋對簡支梁模態參數的影響。圖7為第一條裂紋深度ε1=0.10，裂紋位置分別為 xd1=0.1、0.3、0.5L 時頻率比隨第二條裂紋位置變化而變化的情況。如圖所示，第二條裂紋位置變化引起的頻率變化趨勢與幅度不隨第一條裂紋位置的不同而不同。這說明，在裂紋深度不大時，各條裂紋對梁頻率變化的影響是各自獨立的，帶多條裂紋梁的頻率相對變化為各單條裂紋引致的梁頻率相對變化的乘積。

圖 8 為 ε1=0.05、xd1=0.2L，ε2=0.10、xd2=0.7L時裂紋梁的模態振型和模態曲率。該圖表明，對于含多條裂紋的梁，其模態曲率會相應地出現多個突起，可很方便地用于梁裂紋位置的識別。

3 帶裂紋懸臂梁模態分析

3.1 與已有實驗結論對比

為了進一步驗證本文方法對分析帶裂紋懸臂梁特征模態參數的準確性和適用性，本文以Kam等［15］文中的試驗懸臂梁作為算例，進行算例研究并進行了結果比較。懸臂梁參數見表2，計算結果見表3。如表所示，解析計算結果跟試驗結果的相對誤差最大的為－0.61%，這表明本文方法是準確而且有效的，可用于帶裂紋懸臂梁特征模態的分析。

表2 懸臂梁的材料特性Tab.2 Material properties of cantilever beam

表3 懸臂梁的固有頻率計算值和試驗值Tab.3 Natural frequency of numerical value and experimental value in cantilever beam

3.2 帶裂紋梁模態頻率分析

采用本方法，本節研究了結構裂紋對懸臂梁頻率的影響。懸臂梁物理參數如表2所示。圖9為懸臂梁在單條裂紋作用下前兩階損傷后頻率ωd與損傷前頻率ωu的比值隨裂紋位置變化而變化的曲線圖。裂紋相對深度分別取 ε =0.02、0.04、0.06、0.08、0.10。讀圖9，可得到與簡支梁相類似的結論:① 梁裂紋的出現和擴展將引致各階頻率地相應減小;② 裂紋若發生在某階振型反彎點處，該階梁的頻率不會發生變化;③同等深度裂紋若發生在某階振型峰值處，該階梁頻率的變化也最大。

圖9 單條裂紋下懸臂梁前兩階頻率比隨裂紋位置變化而變化的曲線圖Fig.9 Relative frequency ratio of the(a)first mode and(b)second mode versus relative location change for given relative crack depths of cantilever beam

圖10 帶裂紋懸臂梁前三階模態振型Fig.10 The first three orders of mode shapes for cracked cantilever beam

3.3 帶裂紋梁模態振型分析

對于裂紋對該懸臂梁模態振型和模態曲率的影響，圖10和圖11分別顯示了懸臂梁中產生單條裂紋時梁的前三階模態振型和模態曲率。裂紋相對深度ε=0.08，相對位置xd=0.3L。如圖所示，裂紋不大的情況下，懸臂梁的模態振型無明顯變化但其模態曲率在裂紋位置處有明顯的突起。這是因為模態曲率是模態振型的二階導數，沿梁的長度方向進行二階微分時，會出現一個系數。隨著階數的增大，該系數的值也越來越大，因此模態曲率的變化也越來越明顯。

3.4 多條裂紋對模態參數的影響分析

本文同時研究了多條裂紋對懸臂梁的模態參數的影響。圖12為第一條裂紋深度ε1=0.10，第一條裂紋位置分別為 xd1=0.1、0.3、0.5L 時頻率比隨第二條裂紋位置變化而變化的情況。如圖所示，懸臂梁和簡支梁的裂紋導致頻率變化有著類似的規律:在裂紋深度不大時，各條裂紋對梁頻率變化的影響是各自獨立的，帶多條裂紋梁的頻率相對變化為各單條裂紋引致的梁頻率相對變化的乘積。

對于多條裂紋對該懸臂梁模態的影響，圖13顯示了 ε1=0.05、xd1=0.3，ε2=0.10、xd2=0.6 時裂紋梁的模態曲率。該圖表明，裂紋的產生會對裂紋附近區域的模態曲率引起擾動，只要這些擾動不互相干擾，就能明確地從模態曲率的突起指明裂紋出現的位置。

圖11 裂紋產生后懸臂梁前三階模態曲率Fig.11 The first three orders of mode shape curvatures for cracked cantilever beam

圖12 第2條裂紋產生后懸臂梁前兩階頻率比隨裂紋位置變化而變化的曲線圖Fig.12 Relative frequency ratio of the(a)first mode and(b)second mode versus relative location change of the second crack for the cantilever beam with one crack at given locations

圖13 兩條裂紋產生后懸臂梁前三階模態曲率Fig.13 The first three orders of mode shape curvatures for cantilever beam with two cracks

4 結論

本文推導了帶多條裂紋歐拉梁的動力學控制方程?；跀z動法求解方程獲得了帶多條裂紋歐拉梁的特征值和模態振型的近似解析表達式。然后以帶裂紋簡支梁和懸臂梁為算例，通過和有限元數值計算結果以及與已有實驗測試結果的比對驗證了方法的準確性，分析了裂紋深度和位置對梁模態頻率和模態振型的影響。分析結果表明:裂紋引起的梁各階模態頻率的變化有著固定的模式，如果可以準確量測到各階模態的相對變化模式，就可以確定結構損傷的位置;在裂紋深度不大時，帶多條裂紋梁的頻率相對變化為各單條裂紋引致的梁頻率相對變化的乘積;裂紋會引致模態曲率在裂紋位置附近發生明顯的突起，可用于判斷結構損傷的位置和嚴重程度;只要這些突起區域不互相重疊，就能明確地從模態曲率的突起一一判斷出每條裂紋出現的位置。

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