0是質數還是合數？

李明亮

【摘要】按所含的因數（約數）的個數來分類，自然數可以三類——①質數；②合數；③不是質數，也不是合數。在這種分類方法下，1和。都應歸入“不是質數，也不是合數”之列。因為。是一個特殊的自然數，“為了方便”，小學數學教科書把。限制在了“因數和倍數”的學習內容之外。但是，在討論一些具體問題時，只依據“1不是質數，也不是合數”就把。排除，就可能違反同一律。

【關鍵詞】自然數；分類；質數；合數；同一律

0是一個特殊的自然數。

在我國，1993年才給0在“自然數家族”上“戶口”。而在我國的小學數學教科書中，直到2002年，“自然數家族”中才有0的“地位”。但是，0剛剛取得的這個“合法地位”卻時常受到侵犯。

例如，有的教輔用書中，自然數至今還忽而包括0，忽而又不包括0。

小學數學中，自然數的分類方法有兩種。一是按能否被2整除來分——可分為偶數（能被2整除）和奇數（不能被2整除）——在這種分類方法下，0是偶數，這是沒有疑義的，并且在小學數學教科書中有明確的敘述。二是按所含因數（約數）的個數來分——可分為三類，即：①質數（只有1和它本身兩個因數），②合數（含有三個及三個以上的有限個因數），③不是質數，也不是合數——在這種分類方法下，0的歸屬就不那么清晰了。在現行小學數學教科書（如冀教版四年級上冊、人教版五年級下冊）中，給“質數…‘合數”下了定義之后，又補充了一句：“1不是質數，也不是合數”，而沒有提到0。那么，0應該歸入哪一類呢？

因為0有無數個因數（約數），所以它不是質數；但把0歸入合數，它又無法分解質因數（如果非要把0分解質因數，則它的“質因數”又必須包含0本身，并且有無數種分解方法），所以0也不是合數。所以，應該把0歸入“不是質數，也不是合數”之列。

可在小學數學教科書中，為什么沒有明確地給0一個“地位”呢？原因可能有二：一是對舊教科書的沿襲；二是為了方便，把0限制在了“因數和倍數”的學習內容之外。如，在人教版《數學》五年級下冊的“因數與倍數”單元中，有一句“注意：為了方便，在研究因數與倍數的時候，我們所說的數指的是整數（一般不包括0）?！奔浇贪鏀祵W教科書中雖然沒有這樣的話，但也是同樣的原因，把0限制在了“因數和倍數”的學習內容之外的。

順便說一句，數學的分支“數論”中的因數也是不包括0的（數論中的“因數”與乘法中的“因數”在意義上是有區別的）；《數學課程標準（實驗稿）》的“內容標準”指出：“在1～100的自然數中，能找出某個自然數的所有因數，能找出兩個自然數的公因數和最大公因數”（《數學課程標準（2011年版）》的規定與此完全相同），也沒有提到0。

為什么要把0限制在“因數和倍數”的學習內容之外呢？這是因為0是一個十分特殊的自然數：①0有無數個因數（約數），能被任何非0自然數整除，沒有最大的因數，但0不能做因數（約數）——這與“一個數的因數的個數是有限的，其中最大的因數是它本身”相矛盾。②任何一個非。自然數的最小倍數都是0，又與“一個數的最小倍數是它本身”相矛盾。③任何幾個數的最小公倍數都是0，求幾個數的最小公倍數也就沒有意義了。……這樣，在研究因數和倍數時，0在其中會使學生感到很不方便。所以，在學習這部分內容時，把0限制在外是必要的。

但是，這一限制并沒有否定“0是自然數”這一事實。其實，這一限制恰好說明質數、合數都不包括0。所以我認為，在對自然數進行分類時，不應該忘記給。安排“一席之地”——不是質數，也不是合數。即使教科書上沒有說，教師在教學中做這么一點補充，讓學生對此有一個明確的認識，也是必要的。當然，提出“0是質數還是合數”之類的問題，讓學生討論更好（相信學生能討論出結果）。

對于這個問題，能不能做模糊處理（回避“0是質數還是合數”的問題）呢？我認為不妥。當然，在不包括0的情況下研究質數與合數，仍在不包括0的情況下應用這兩個概念，是沒有問題的。但是，在不包括。的情況下研究質數與合數，而在包括。的情況下應用這兩個概念，就可能出現邏輯錯誤。請看下面的例子。

在冀教版《數學·四年級上冊》的第95頁，第7題是“破譯電話號碼”。電話機上顯示的號碼是ABCDEFG——“A：10以內最大的質數?！璆：既不是質數，也不是合數?！贝鸢甘?235491。在這里，我們來討論與其有關的兩個問題。

1.把“1不是質數，也不是合數”理解成“不是質數，也不是合數的數是1”，是不是正確呢？答案是否定的，因為逆命題與原命題不是等價命題，互為逆否的命題才是等價命題。

2.上面這個問題是不是只有7235491這一個正確答案呢？

如果想讓這個問題只有這一個正確答案，那么就需要先限定電話號碼中沒有0。如果不這么限定，那就需要對0進行討論——“0是質數還是合數”，因為質數、合數都不包括0，所以討論的結果就是有兩個正確答案——7235491和7235490。如果不限定電話號碼中沒有0，而又不考慮“0是質數還是合數”，那么就違反了同一律。因為同一律要求我們，在進行論斷和推理過程中，每一個概念都應該在同一的意義上來使用——在沒有。的情況下研究質數與合數，就應該在沒有。的情況下應用質數與合數的概念。

還有，在一些教輔用書和試卷上，常出現猜多位數的題，其中常見的一句話就是某一數位上的數“不是質數，也不是合數”，而給出的“標準答案”也只有一個——這一位上是1。這也是把“1不是質數，也不是合數”當作“不是質數，也不是合數的數是1”來推理的，同時也存在違反同一律的邏輯錯誤。

避免此類邏輯錯誤的方法就是，要么給0一個位置，要么別提出此類問題（如上述猜多位數的問題）。