新課程背景下利用幾何畫板進行數學教學的探索與反思

張瀚錕

摘 要：探討與分析了幾何畫板輔助高中數學探究性教學的相關問題，通過對幾何畫板在“柱、錐、臺的體積”教學中應用的教學案例的分析和解決，具體說明了利用幾何畫板輔助高中數學教學、輔助學生學習等方面應用的優勢及問題。以《高中數學課程標準》理念為指導，以建構主義學習理論、人本主義心理學理論、教育傳播學理論作為理論基礎，從課程整合的角度，緊緊圍繞幾何畫板在高中數學教學中的應用進行了研究。

關鍵詞：信息技術；抽象思維；形象思維；創新能力

一、問題的提出

20世紀中葉以來，數學自身發生了巨大的變化，特別是與計算機的結合，使得數學在研究領域、研究方式和應用范圍等方面得到了空前的拓展。現代信息技術的發展，一方面為數學教育的普及與傳播提供了得天獨厚的土壤，另一方面也對數學教育的價值、目標、內容以及教與學的方式產生了重大的影響。目前，各級各類學校都在進行信息技術和數學課程整合的探索，如浙江的《信息技術和數學教學整合的教學模式研究》、江蘇常州的《信息技術與數學科課程整合》、廣東的《信息技術與高中數學（新教材）教學整合實驗研究》、北師大林君芬、余勝泉開展的《信息技術與數學教學整合的教學模式研究》等，都體現了人們對現代信息技術在數學教學中應用的重視。而從國外引進的教育軟件“幾何畫板”以其學習入門容易和操作簡單的優點及其強大的圖形和圖像功能、方便的動畫功能被國內許多數學教師看好，并已成為制作高中數學課件的主要創作平臺之一。它為現代信息技術在數學教學中的應用提供了具體方案，實現信息技術在數學科學中的最佳效果，有利于培養學生的認知能力與創新能力。

二、利用幾何畫板開展數學教學理論依據

培養創新能力，首先要具備創造性思維。“創造性思維是創造過程中的思維活動，是抽象思維和形象思維兩種思維新穎靈活的有機結合。”而數學學科主要是抽象思維和形象思維，它在培養和提高思維能力發揮著特有的功效；而從人類數學思維系統的發展來說，形象思維是最早出現的，并在數學研究和教學中起著重要的作用。傳統的數學教育重視抽象的邏輯推理演算，卻忽視了靈活發散的形象思維，從而導致我國中小學生的數學文化精神嚴重“缺鈣”。不難想象，一個沒有得到形象思維培養的人不會有很高的抽象思維能力。古代希臘數學家說：“從作圖的直觀上發現了數學的非演繹的無理的元素，這些元素使得作圖的直觀可與音樂和藝術相媲美。”前蘇聯著名數學家A.H.柯爾莫戈洛夫也曾指出：“只要有可能，數學家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化。”這正是數學形象思維重要性的一個縮影。因此，發展形象思維是培養學生認知能力、發展創新能力的一個必要的突

破口。

三、幾何畫板在高中數學重要模塊教學中的運用

1.幾何畫板在代數教學中的應用

“函數”是中學數學中最基本、最重要的內容。近幾年，在函數的教學與解題中特別強調了數與形的結合。幾何畫板快速直觀精確的顯示及變化的功能在解決數形結合的問題上得到了體現，大大提高了課堂效率，進而起到了事倍功半的效果。

具體說來，可以用幾何畫板根據函數的解析式快速作出函數的圖像，并可以在同一個坐標系中作出多個函數的圖像。如在同一個直角坐標系中作出函數y=x2、y=x3和y=■的圖像，比較各

圖像的形狀和位置，歸納冪函數的性質；還可以作出含有若干參數的函數圖像，當參數變化時函數圖像也相應地變化。如在講函數y=Asin（ωx+φ）的圖像時，傳統教學只能將A、ω、φ代入有限個值，觀察各種情況時的函數圖像之間的關系；利用幾何畫板則可以不斷地分別改變A、ω、φ來觀察每一個量對函數圖形的影響，而且又可以同時改變A、ω、φ來觀察函數圖形的整體變化（如圖1）。這樣在教學時既快速靈活，又不失一般性。

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圖1

幾何畫板在高中代數的其他方面也有很多用途。例如，借助于圖形對不等式的一些性質、定理和解法進行直觀分析——由“半徑不小于半弦”證明不等式“■≤■”等；再如，講解數列的極限的概念時，作出數列的圖形（即作出一個由離散點組成的函數圖像），觀察曲線的變化趨勢，并利用幾何畫板的制表功能以“項數、這一項的值、這一項與0的絕對值”列表，幫助學生直觀地理解這一較難的概念。

2.幾何畫板在立體幾何教學中的應用

立體幾何是在學生已有的平面圖形知識的基礎上討論空間圖形的性質，它所用的研究方法是以公理為基礎，直接依據圖形的點、線、面的關系來研究圖形的性質。初學立體幾何時，大多數學生不具備豐富的空間想象能力及較強的平面與空間圖形的轉化能力，主要原因在于人們是依靠對二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線；正方體的各個面不能都畫成正方形等。這樣一來，學生不得不根據歪曲真正的圖形去想象真實情況，這便給學生認識立體幾何圖形增加了困難。而應用幾何畫板將圖形動起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關系和度量關系表示出來，使學生從各個不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學生理解和接受立體幾何知識，還可以讓學生的想象力和創造力得到充分發揮。

例如：二面角的平面角的概念，是“二面角”這節內容的重點和難點。解決這一難點的關鍵是，讓學生在理解這一概念的本質屬性的基礎上，自然地形成二面角的平面角的概念。為此，我們可以采用幾何畫板設計如圖2所示的二面角。α-L-β，使得射線OA，OB能分別在半平面α，β內繞棱上一點O自由旋轉，兩個半平面α，β繞L自由轉動，當二面角α-L-β確定之后，通過OA，OB分別在α，β緩緩轉動，啟發學生發現，必須使OA，OB與L成定角。從而進一步提出：這個定角多大時，才能合理地、科學地用∠AOB的大小來描述二面角的兩個半平面的張合程度呢？此時演示動畫，使得OA，OB都與L垂直時停頓閃爍，就不難發現，這個定角為90°時就比較合理、科學（如圖3）。這樣二面角的平面角這一概念的屬性（過棱L上一點O；OA，OB分別在半平面α，β；OA⊥L，OB⊥L）得到了充分的顯示，概念的形成水到渠成。

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3.幾何畫板在平面解析幾何教學中的應用

平面解析幾何是用代數方法來研究幾何問題的一門數學學科，它研究的主要問題，即它的基本思想和基本方法是：根據已知條件，選擇適當的坐標系，借助形和數的對應關系，求出表示平面曲線的方程，把形的問題轉化為數來研究；再通過方程，研究平面曲線的性質，把數的研究轉化為形來討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導致點、線按不同的方式作運動，曲線和方程的對應關系比較抽象，學生不易理解，顯而易見，展示幾何圖形變形與運動的整體過程在解析幾何教學中是非常重要的。這樣，幾何畫板又以其極強的運算功能和圖形圖像功能在解析幾何的教與學中大顯身手。如它能作出各種形式的方程（普通方程、參數方程、極坐標方程）的曲線；能對動態的對象進行“追蹤”，并顯示該對象的“軌跡”；能通過拖動某一對象（如點、線）觀察整個圖形的變化來研究兩個或兩個以上曲線的位置關系。

具體地說，在講橢圓的定義時，可以由“到兩定點F1、F2的距離之和為定值的點的軌跡”入手（如圖4）。

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圖4

先讓學生猜測P點的軌跡是什么圖形，學生各抒己見之后，老師演示圖4，學生豁然開朗：“原來是橢圓”。這時老師還可以改變PF1+PF2的值，使得PF1+PF2=F1F2，滿足條件的點的軌跡變成了一條線段F1F2，甚至還可以得到PF1+PF2

以上是教學中的典型實例，在這幾個例子中充分運用幾何畫板的動畫、移動、平移、旋轉、標識向量等高級功能，從中我們看到幾何畫板對高中數學教學是十分有利的。只要我們發揮自己的創造性，潛心研究，就能不斷地加深對幾何畫板的理解和應用，不斷開發出適用于教學的優秀課件。

四、高中數學函數教學設計案例及案例分析

基于以上對幾何畫板在數學教學中的運用的具體分析，下面筆者以“北師大版高中數學必修2第七節《簡單幾何體的面積和體積》”為例進行較為詳細的教學設計。

課題：柱、錐、臺的體積

一、教學設計思想

（一）背景

北師大版高中數學必修2第七節《簡單幾何體的面積和體

積》，是在學生掌握了前幾節的內容，具有一定的空間想象能力的基礎上，要求學生學會一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法。關于柱、錐、臺、球的體積公式，課程標準要求我們只給出公式，要求學生理解公式中的各個量詞表示的意義，會套用公式進行計算，而不要求對公式進行證明。但與過去不同的是我們希望學生在運用過程中自然掌握這些公式，目的是想培養學生的空間想象能力和分析、解決實際問題的能力。運用幾何畫板輔助教學，使立體圖形直觀化，可以幫助學生自然掌握公式，這就是筆者選擇本課題的實際背景。

（二）目標

（1）知識與能力：自然掌握柱、錐、臺、球的面積和體積計算公式，培養學生的空間想象能力；靈活運用“割、補、轉”的方法，提高分析、解決實際問題的能力。

（2）過程與方法：滲透把有關立體幾何問題轉化為平面幾何問題的數學思想和類比的思想方法。

（3）情感態度與價值觀：使信息技術與課程進行有效的整合，提高學習效率，并使得抽象問題形象化，培養學生學習立體幾何的興趣。

（三）教學重點與難點

（1）教學重點：

柱、錐、臺的體積。

（2）教學難點：

組合體體積的計算。

（四）說明

柱、錐、臺的體積在《立體幾何初步》中是重點內容，其在傳承數學幾何思想上具有獨到的作用。本課題的拓展性強，運用多媒體技術，使對圖形割補變換以動態形式呈現，速度快，立體感強，整合效果好，具有不可替代的作用。

二、教學實施過程

（一）創設情境

（1）回顧我們在初中學習過哪些幾何體的體積的計算，它們的體積公式是什么。

初中學習了正方體、長方體、圓柱的體積計算公式，其公式是：

V=Sh S——底面積 h——高

（2）還記得初中時你們的數學老師是如何驗證棱柱、圓柱、棱錐、圓錐的體積公式的嗎？

（3）對幾何體的體積你有哪些認識？

教師引導學生交流，討論回答。

①幾何體占有空間部分的大小，就是幾何體的體積。

②完全相同的幾何體的體積相等。

③一個幾何體的體積等于它的各個部分的體積之和。

④體積相等的幾何體叫等積體，等積體不一定形狀相同。

⑤一般棱柱的體積如何計算。引起學生思考。

（二）探究一般棱柱和錐體的體積如何計算

（1）關于棱柱和圓柱的體積

設有一個n棱柱、一個圓柱和一個長方體，它們的底面積都等于S，高都等于h，它們的下底面都在同一平面上，如下圖：