共軛A-調和張量局部加權估計式

賀丹，金明浩

（黑龍江工程學院數學系，黑龍江哈爾濱150050）

共軛A-調和張量局部加權估計式

賀丹，金明浩

（黑龍江工程學院數學系，黑龍江哈爾濱150050）

本文將給出非齊次A-調和方程A(x,g+du)=h+d*v及共軛A-調和方程A(x,du)=d*v解的局部加權范數估計式.首先回顧了要用到的兩個引理和A,(λ,Ω)-權函數的定義，并在這兩個引理的基礎上，給出了加A,(λ,Ω)-權的局部積分估計式.

非齊次A-調和方程；微分形式；雙權函數；積分不等式

近年來，非齊次A-調和方程的理論研究取得了很大進展，C.A.Nolder[1]證明了非齊次A-調和方程解的可積性等.本文將給出非齊次A-調和方程

及共軛A-調和方程

解的局部加權范數估計式.

引理1設u和v是非齊次A-調和方程(1)在Ω上的解，如果g∈Lp(Q,Λl),h∈Lq(Q,Λl)，那么du∈Lp(Q,Λl)當且僅當d*v∈Lq(Q,Λl)，而且存在不依賴于u和v的常數C1、C2，使得對所有的球Q，若Q?Ω，則有

引理2設u和v是非齊次A-調和方程(1)在Ω上的解，則存在不依賴于u和v的常數C，使得對所有的球Q，若σQ?Ω，有

這里σ是一常數且σ>1.

定義1稱權(ω1(x),ω2(x))滿足Ar(λ,Ω)條件，r>1,λ>0，記為(ω1(x),ω2(x))∈Ar(λ,Ω)，如果對任意的球體Q?Ω，滿足

定理1設u和v是非齊次A-調和方程(1)在Ω上的解，(ω1(x),ω2(x))∈Ar(λ,Ω)，r>1，那么存在一不依賴于u和v的常數C，使得對所有的球Q，若Q?Ω，有

證明由于s=(1-α)q

綜合(10)與(11)有

類似地，可得

綜合(6)與(7)，便有

把(8)、(12)、(13)代入(14)中，便得

由于(ω1(x),ω2(x))∈Ar(λ,Ω)，于是

把(16)代入(15)便有

證畢.

采用相同的方法，可以得出關于du的Ls-加權估計.

定理2設u和v是非齊次A-調和方程(1)在Ω上的解，(ω1(x),ω2(x))∈Ar(λ,Ω)，r>1，那么存在不依賴于u和v的常數C，使得對所有的球體Q，若Q?Ω，有

1.9 統計學處理 采用 SPSS 20.0 軟件進行數據處理。呈正態分布的計量資料以±s 表示，兩組間比較采用兩樣本均數比較的 t 檢驗（若方差不齊則采用 Welch 校正的 t 檢驗）。檢驗水準（α）為 0.05。

事實上，不等式(18)等價于

定理3設u和v是共軛A-調和方程(1-4)在Ω上的解，(ω1(x),ω2(x))∈Ar(λ,Ω)，r>1，那么存在不依賴于u和c的常數C1與C2，使得對所有的滿足Q?Ω的球體Q及任意的滿足αr<1的正常數α，有

證明當g=0與h=0時，應用定理1可得

由計算可得

把(22)代入(21)可得

類似地，利用定理1在g=0、h=0時可得

定理4設u和v是共軛A-調和方程A(x,du)=d*v在Ω上的解，(ω1(x),ω2(x))∈Ar(λ,Ω),r>1，那么存在一不依賴于u和v的常數C1與C2，使得對所有的滿足Q?Ω的球體Q及任意的滿足αr<1的正常數α，有

證明應用推廣的H?lder不等式及引理2有

由于

因此

經計算可得

綜合(25)、(27)與(28)，可得

由(ω1(x),ω2(x))∈Ar(λ,Ω)可得

把(30)代入(29)可得

(23)證明完畢，類似地可證(24).

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O175.2

A

1673-260X（2013）03-0001-03

黑龍江教育廳科學技術研究項目(12521457)