好問題源于“三個理解”

☉北京市樓梓莊中學 張 東

在數學課堂教學中，教師怎樣才能提出好問題？站在不同的角度，可能會有不同的回答.筆者認為，教師提出好問題的前提是“理解數學、理解學生、理解教學”.本文通過同課異構說課活動中的一則案例來談談自己對這個問題的思考.

一、情景再現

比賽中，兩位青年老師教學的內容都是人教版教材七年級上冊4.3.3《余角和補角》，但在余角概念的引入環節，兩位老師提出了不同的問題.

教師A：如圖1，我們可以用∠DEF與∠ABC的大小來描述比薩斜塔的豎直方向和水平方向，請你猜想∠ABC與∠DEF之間有怎樣的數量關系.如何驗證你的猜想呢？

教師B：數學中，經常通過考察特殊情況來獲得對問題的進一步認識，比如在學習有理數時，特別研究了和為0與積為1兩種特殊的數量關系，它們分別對應著互為相反數和互為倒數這兩種特殊的有理數之間的關系.在上節課，我們學習了角的比較和運算，知道了角之間也具有數量關系，類比上述研究思路，由此你能提出一個關于角的需要進一步研究的問題嗎？

圖1

二、案例分析

這兩種問題到底設計得好不好呢？讓我們先從理解數學、理解學生、理解教學三個方面對《余角和補角》進行簡單的分析.

1.理解數學.《余角和補角》是在學生學習了角的概念、角的大小的比較與表示、角的運算，并認識到角之間也具有數量關系之后，對兩個角之間的兩種特殊的數量關系的進一步認識.從兩個角的一般數量關系到互余、互補這兩種特殊的數量關系，體現了從一般到特殊的研究數學的基本套路.其次，互余、互補也是幾何中角之間最基本、最常見的數量關系，是幾何以及三角函數中角之間相互轉化的重要關系.兩個角之間的關系除了數量關系之外，還有位置關系（比如對頂角、鄰補角、同位角、內錯角、同旁內角等），但余角和補角本質上反映的是角之間的一種數量關系，與位置無關.

2.理解學生.學生在小學學習過角的分類，知道直角和平角是角家族中的特殊成員；由于上節課學生剛學完兩角和、差的概念及和、差的運算，所以學生學習互余、互補的最近發展區就是兩角和的概念及運算.其次，學生在理解余角和補角的概念時，常常會把位置關系也考慮其中，因而在判斷兩個角是否互余或互補時出現錯誤.此外，通過幾何直觀，可把復雜的數學問題變得簡明、形象，利于幫助學生探索解決問題的思路，預測結果.

3.理解教學.《數學課程標準（2011版）》在課程內容中對余角概念的具體要求是“理解余角的概念”.所謂“理解”，是指“描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關對象之間的區別和聯系”.因此，教學中要讓學生體驗互余概念的產生過程，認識到兩個角互余只和這兩個角的大小有關，而與其所在的位置無關的本質特征.此外，在《數學課程標準（2011版）》的課程總目標中提到，通過義務教育階段的數學學習，學生能“運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”“體會數學的基本思想和思維方式，初步學會從數學的角度發現問題和提出問題”.在教學中，讓學生體會從一般到特殊的研究數學的基本套路，既是對數學基本思想的滲透，也是對學生發現問題、提出問題能力的培養.

通過以上三個方面的分析，我們得出兩位老師的提問其實各有特色：教師A的提問從實際情境出發，借助比薩斜塔抽象出兩個相加等于90°的角的數學模型，讓學生體會數學與生活實際的密切聯系；讓學生先猜想再驗證，有助于發展學生的合情推理能力，同時幾何圖形的直觀化，讓學生也比較容易猜想到結論；同時在驗證兩角和為90°時，學生會聯系到上節課所學習的兩角和的概念，通過度量和拼接的操作進行驗證，體會數學知識之間的內在聯系.

教師B的提問“數學立意”很高，而且很開放，是從數學知識的內在聯系出發提出問題：教師先通過“先行組織者”向學生滲透從一般到特殊、考察特例的認識數學對象的方法，然后以有理數中互為相反數和互為倒數為例，讓學生進行類比，啟發學生自己發現問題、提出問題，并通過類比讓學生體會如何發現問題、提出問題，當然兩位老師所提的問題也都還有需要進一步探討之處.比如教師A的問題中，兩個銳角的位置還是比較特殊（有一條邊平行）的，用這樣的兩個角代表互余的角會給學生造成邊不在同一直線上的角就不是互余的角的錯覺.此外，僅從一個例子中，學生很難歸納出一類問題的本質屬性，還應再舉一些例子.教師B的問題，雖然立意很高，也舉了一個例子供學生類比，但學生不一定能理解問題的意圖，不妨再設計一個問題預案，來對學生進行啟發和引導.

因此對于余角概念的引入，可以將兩位老師的問題進行綜合形成問題串，不妨做如下的設計.

問題1：數學中，經常通過考察特殊情況來獲得對問題的進一步認識，比如在學習有理數時，特別研究了和為0與積為1兩種特殊的數量關系，它們分別對應著互為相反數和互為倒數這兩種特殊的有理數之間的關系.在上節課中，我們學習了角的比較和運算，知道了角之間也具有數量關系，類比上述研究思路，由此你能提出一個關于角的需要進一步研究的問題嗎？

問題2：如圖1，我們可以用∠DEF與∠ABC的大小來描述比薩斜塔的豎直方向和水平方向，如圖2，∠1=∠ABC，∠2=∠DEF，那么∠1與∠2之間會有怎樣的數量關系呢？如何驗證你的猜想？你還能舉出一些具有這樣數量關系的兩個角嗎？

圖2

三、深度思考

掩卷反思，為什么有的老師的提問能突出數學問題的本質和要害，而有的老師的提問卻如隔靴搔癢呢？為什么有的老師的提問能讓學生在問題的啟迪下探究數學的真諦，而有的老師的提問卻讓學生感覺一頭霧水，不知如何思考呢？通過以上的案例，不難發現教師能否提出好的數學問題，關鍵在于教師對數學、學生、教學的理解水平.

1.理解數學.這決定問題所能達到的深度.理解數學，是指清楚數學知識的產生背景、形成過程、形成方法，清楚數學知識的本質、體系及與相關知識的關系，它的關鍵是把握內容設計的核心概念及其蘊含的思想方法.比如，圍繞數學概念提問時，要考慮概念的來源是什么，概念的內涵是什么，與相關概念的相互關系是什么，概念有什么作用，在新的概念引入后，原來的知識可以做出什么新的解釋等.在本案例中，如果教師對余角概念中數量關系而非位置關系這一本質特征把握不準，對余角產生過程所蘊含的一般到特殊的研究數學的基本思想沒有深入挖掘的話，那么在教學設計時所提出的數學問題就不會有什么數學深度，學生的思維與能力也不會得到相應的發展.

2.理解學生.這決定問題所能達到的效果.數學教學服務的對象是學生，教師“理解數學”的最終目的是讓學生也“理解數學”.理解學生，是指清楚學生學習的基礎、潛能、需求、差異，準確把握學生學習的最近發展區（包括學習本部分知識時已有知識的知識萌芽點、生長點與認知難點、易混易錯點，清楚學生的認知規律）.在本案例中，教師在設計提問時，以“角的數量關系”為余角概念的生長點，考慮到位置關系對學生理解的干擾，注意問題中角的位置的一般性，此外七年級學生剛接觸幾何，還需要借助幾何直觀，輔助對概念的理解.

3.理解教學.這決定問題所體現的教育價值.理解教學，就是要清楚數學教育的目的是什么，每節課的數學課程教學要達到的教學目標是什么，到底要培養學生的哪些能力與水平.只有教師正確理解了數學的育人目標，才能提出有教育價值的好問題.在本案例中，教師B正是認識到《數學課程標準（2011年版）》中提到的“初步學會從數學的角度發現問題和提出問題”的目標要求，才設計出來引導學生“……類比上述研究思路，由此你能提出一個關于角的需要進一步研究的問題嗎？”這樣有很高立意的好問題.

總之，好問題是數學、學生、教學有機統一、相互協調、綜合設計的結果，相信這樣的問題設計，一定會贏得學生、專家的集體“轉身”！