教師引導，讓數學課堂流暢而深入——由《同底數冪的除法》教學片段引發的若干思考

☉江蘇省張家港市暨陽湖實驗學校 徐 輝

《數學課程標準》指出：“有效的教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者.”“數學教學活動應激發學生的興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維，要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法.”在初中數學課堂教學中，通過情景導入、學生的自主學習、合作交流、教師的點撥等環節，學生對數學概念、法則、性質、定理等知識應當能初步掌握.然而，要深刻理解、掌握和運用數學概念、法則、性質、定理，必須要經過例題的教學，

例題教學是學生將數學知識和技能轉化為能力的必要途徑和手段.因此，例題的設計與教學是一個教師教學智慧和藝術的充分體現. 教師要通過富有基礎性、示范性、層次性和發散性的例題，引導學生將數學知識內化為數學思想與方法，只有這樣才能讓數學課堂流暢而深入.

在一次初一年級的“同課異構”教學研討活動中，筆者給參加活動的老師展示了《同底數冪的除法》一課，整節課中例題的設計、講解、對學生的引導給聽課老師留下了極其深刻的印象，下面，結合課堂教學片段進行具體的分析與反思，期望對讀者的教學有所幫助.

一、教學背景與說明

《同底數冪的除法》是在學生已掌握了同底數冪的乘法及冪的乘方與積的乘方的基礎上進行的，教材的安排是根據冪的意義做同底數冪的除法后，再明晰同底數冪的除法法則.其優點是符合學生的認知規律，學生易于接受.在具體操作時，我們還可以將同底數冪的除法法則的推導過程與乘法法則的推導過程等進行類比，幫助學生充分認清同底數冪的除法法則的意義與本質，深刻領會應用除法法則時指數必須滿足的條件，為學生下一課繼續探索零指數冪和負指數冪的實際意義及規定的合理性打下基礎.

二、教學片段與解析

1.情景引人，導出法則

問題1：通過計算下列各式，說說你發現了什么：

（1）106×103；

（2）a7·a4；

（3）106÷103；

（4）a7÷a4（a≠0）；

（5）a100÷a70（a≠0）.

問題2：當a≠0，m、n是正整數，且m>n時，am÷an的結果是什么？

解析與思考：以學生身邊熟悉的知識引入新課，親切自然，更重要的是通過類比容易引起學生的認知沖突，激發學生的好奇心和求知欲.另一方面，通過簡單、特殊的計算，再過渡到一般的情形，學生不會感到陌生、容易接受，在輕松、和諧的氛圍中導出了法則.

2.簡單應用，鞏固法則

在數學課堂教學中，例題的教學有著不可磨滅的作用，它是讓學生從知識生成邁向知識升華的橋梁，而教師能否將書本上的知識轉化成為學生所掌握的知識，例題教學才是關鍵所在.

案例一（例題選講）

例1 計算：

（1）26÷22；

（2）（－b）8÷（－b）；

（3）（ab）4÷（ab）2

（4）t2m+3÷t2（m是正整數）；

（5）（x+y）5÷（x+y）3.

師：本題是一組直接應用法則的計算問題，在操作時需要弄清什么是“底數”，如何應用法則.

生1：26÷22=26－2=24=16.

生2：在（－b）8÷（－b）中，底數是－b，利用法則得（－b）8÷（－b）=（－b）7=－b7.

師：非常好.對于（2），這里有兩點需要特別強調：底數是－b；應用法則以后的結果是（－b）7，但它不能作為最后的結果，我們還可以利用積的乘方進行運算得到最終的結果－b7.

生3：在（ab）4÷（ab）2中，底數是ab，所以（ab）4÷（ab）2=（ab）4－2=（ab）2=a2b2.

師：這里將ab看作一個整體，直接利用法則很容易得到結果.但是我發現有的同學的結果是（ab）2，這是運算不徹底導致的，我們還可以利用積的乘方，得到最終結果a2b2.同時，我還看到部分同學是這樣做的：（ab）4÷（ab）2=a4b4÷a2b2=a2b2，請大家比較一下.

生4：在t2m+3÷t2中，底數是t，直接利用法則得t2m+3÷t2=t2m+3－2=t2m+1.

生5：在（x+y）5÷（x+y）3中，底數是x+y，所以（x+y）5÷（x+y）3=（x+y）5－3=（x+y）2.

師：通過本例的學習，我們知道在進行同底數冪的除法時，底數可以是具體是數，也可以是字母，可以是單項式，也可以是多項式.

解析與思考：設計本例的主要目的是要讓學生熟悉同底數冪的除法的操作步驟.一方面，要引導學生感受應用法則時“底數”的變化，另一方面，教師要不斷引導學生關注每一步計算的依據，培養學生“以理駕算”的習慣.比如：（ab）4÷（ab）2=（ab）4-2（同底數冪的除法的運算性質）=（ab）2=a2b2（積的乘方的運算性質）.因此，例題的選擇很重要，難度必須要控制好，能說明問題、起到示范作用就行.

3.變式訓練，深化法則

在學生對當堂知識和技能初步理解與掌握后，進一步的深化和熟練是必要的.目的是使學生在學習中學會運用課本的知識舉一反三，積累解題的經驗，形成數學思想與方法.要實現上述目的，應用“變式教學”是一種十分有效的手段，所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地引導學生對例題進行合理的拓寬與深化.

案例二（例題選講）

例2 計算：

（1）（－b）8÷b；

（2）（x－y）5÷（y－x）2.

師：例1的第二小題做了一點變化成為例2（1），你發現了嗎？

生1：例1的第二小題是同底數冪的相除，而（－b）8÷b是不同底的兩個冪的相除.但是可以轉化為同底數冪的相除.

師：好的，你板書一下.

生1（板書）：（－b）8÷b=b8÷b=b7.

師：這里利用積的乘方的性質，將（－b）8轉化成了b8，然后利用同底數冪的除法的運算性質，很快能得到結果，還有其他做法嗎？

生2（板書）：（－b）8÷b=－（－b）8÷（－b）=－（－b）7=b7.

師：這里將底數轉化成了－b，相比較而言，運算稍簡潔了點.看看第二小題怎樣轉化比較合理些.

生3：因為（y－x）2=（x－y）2，所以（x－y）5÷（y－x）2=（x－y）5÷（x－y）2=（x－y）3.

師：很好，這里如果將（x－y）5轉化為－（y－x）5，計算時會出現“－”，結果稍美觀些.如果將問題改為：（x－y）5÷（yx）3，那么又怎樣轉化呢？

生4：因為兩個冪的底數不同，并且指數都是奇數，所以無論轉化哪個冪都會出現“－”，我的做法是（板書）：（xy）5÷（y－x）3=－（y－x）5÷（y－x）3=－（x－y）2.

師：在進行不同底數的冪除法時，我們要先將其轉化為同底數冪的除法，再應用法則.在進行轉化時，優先考慮將偶數次冪進行操作，奇數次冪轉化時，常常要注意符號的變化.

解析與思考：例2與教材上的例題、練習相比有一定的難度，在教學過程中，教師要積極引導學生認清例2與例1的區別與相互之間的轉化，作為教師，要盡可能地尊重學生的理解方法，讓學生談出自己的觀點，充分利用已有的知識結構來同化新知識，最后還要引導學生總結歸納解題方法、提煉數學思想.通過幾個問題的前后聯系以及解決這些問題的方法的變化，形成一種更高層次的思維方法，以達到對問題本質的了解、問題規律的掌握、知識技能的鞏固、思維的拓展與遷移等目的.

4.拓展延伸，強化法則

新課程強調教師在教學設計時要有彈性，關注不同層次學生的數學學習需要，要根據不同的內容目標、學生的知識背景和數學活動經驗，給學生留下拓展延伸的空間和時間，使每一名學生都能得到應有的發展.因此，在數學教學中設置拓展延伸問題就顯得重要和迫切了.

案例三（拓展延伸）

例3 計算：

（1）32m÷3÷32；

（2）273×92÷312；

（3）162m÷42m－1（m是正整數）.

師：對于32m÷3÷32，與上面的例題相比，只是同底數冪相除的個數增加了，我們只需分步應用同底數冪的除法的運算性質，請你們說說結果是多少.

生1：32m÷3÷32=32m－1÷32=32m－3.

師：如果將“32m÷3÷32”修改為“9m÷3÷32”，結果會變化嗎？

（為第二小題作鋪墊）

生1：不會變化，因為9m=（32）m=32m.

師：非常好，這里我們再次將不同底數冪的除法問題化成了同底數的冪的除法.請你們盡快計算第二小題.

生2（板書）：273×92÷312=（33）3×（32）2÷312=39×34÷312=313÷312=3.

師：對于冪的運算，無論是乘法還是除法，運算前必須將其化為同底數冪，再應用相關的運算性質.請大家討論一下.第三小題，怎樣化成同底數冪？如何進行計算？

（學生小組討論，教師巡視）

生3：我們小組的做法是將162m化為（42）2m=44m，然后應用同底數冪除法的運算性質，結果是42m+1.

生4：我們小組的做法是將162m化為（24）2m=28m，再將42m－1化為（22）2m-1=24m-2，然后應用同底數冪除法的運算性質，結果是24m+2.

師：通過不同的轉化，得到了兩個結果，你們如何看？

生5：42m+1=（22）2m+1=22m+2，因此，這兩個結果本質上是一樣的.

師：上面的兩種解法告訴我們，在進行冪的運算時，有時可以將部分不同底數的冪化成與已知的某個冪同底數，也可以將所有的冪化成另外一個相同底數的冪，再利用相關的運算性質進行計算.請大家課后完成下一小題：42m+1×83m÷32m+1（m是正整數）.

解析與思考：設置拓展延伸問題，要從學生的實際出發，基于學生已有的知識水平、認知能力、知識結構進行適度的拓展、延伸，通過有效的教學設計、教學形式、教學方法來實現學生對知識的進一步理解與掌握，并能在新知識的學習中使原有的知識得到鞏固、運用、延續與深化.在這個教學環節中，教師要積極引導學生分析問題，弄清問題中所涉及的知識，尋找正確的解題思路.在問題解決后，還要積極引導學生對自己的思考過程、運算過程、語言表達、書寫格式以及解題過程所涉及的思想方法、技巧進行反思，使得拓展延伸問題的效益最大化.

三、實踐反思與感悟

教師的主導作用一定程度表現在“引導”上.教師的根本職責在于“引路”，而不是代替學生或背著學生“走路”.要做到施教主動，貴在引導，妙在開竅.根據學生的學習特點、教學設計的問題，恰如其分的引導學生分析問題、解決問題.例如，例1的第三小題的解答過程中，學生肯定有兩種不同的思路，在學生解答、教師點評后，要引導學生進行比較，得出一般的解題方法.同時，結合課堂中生成的資源，適當進行點評.例如，例3的第三小題的解答過程中，學生經過討論得到了兩種結果，教師還要引導學生結合自己表述每一步運算的算理進行自我評價和自我修正，積累解題的經驗.因此，教師的引導必須做到三個適應：一是適應學生的學習過程的規律和特征，二是適應學生身心發展規律，三是適應學生現有的知識水平和認知結構.實踐表明，做到這“三個適應”，既是發揮教師主導地位的最好說明，也是實現學習活動最優化的重要前提條件.