多角度證明不等式一例

☉山東省東營市第一中學 王鳳霞 楊興賀

方法一（綜合法）

證明：因為a，b為直角三角形的兩直角邊的長，c為斜邊的長，所以a2+b2=c2.

又（mb－na）2≥0，即m2b2－2mnab+n2a2≥0，

所以m2（c2－a2）－2mnab+n2（c2－b2）≥0，

c2（m2+n2）≥m2a2+2mnab+n2b2，

即c2（m2+n2）≥（ma+nb）2.

而c>0，ma+nb>0，所以

由于比較法和分析法相對于綜合法較簡單，此處略.

方法二（構造函數法）

方法三（三角換元法）

方法四（向量法）

證明：設a=（a，b），b=（m，n）.由題意知而cos〈a，b〉，所以，即ma+nb≤，所以

方法五（數形結合法）

以上我們是從不同的角度和側面，找出問題的本質，探求知識的相互關系，來解決問題，從而擴展了學生的思維空間，豐富學生的解題思路.■