高考命題 教材探源——從2012年福建省高考數學理科卷第17題談起

☉安徽省銅陵市一中 盧 濤

高考命題 教材探源
——從2012年福建省高考數學理科卷第17題談起

☉安徽省銅陵市一中 盧 濤

高考數學命題遵循一個原則：“源于教材，高于教材”．課本習題不僅是教師施教、學生學習的主要材料，也是高考命題的重要依據．新課改以來，大家都一直強調高三復習要回歸課本，但往往沒有得到真正的重視．回歸課本在各省市高考數學試卷中得以充分體現．如人教版必修四第138頁B組第3題．

源題1 觀察以下各等式：

分析上述各式的共同特點，寫出能反映一般規律的等式，并對等式的正確性作出證明．

變式1（2012年福建理17）某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數：

（Ⅰ）試從上述五個式中選擇一個，求出這個常數；

（Ⅱ）根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，并證明你的結論．

評析：不難看出此試題為教材習題改編．試題切入角度新穎，把研究型、探究型、開放型問題融為一體，不落俗套，歸納、猜想、驗證，從特殊到一般，充分展現了數學命題的發現與驗證的全過程.與新課程理念“倡導積極主動、勇于探索的學習方式”相一致．

本題是一道開放型問題，主要考查三角恒等變換能力，通過對上述五個式子比較、分析，揭示數學的發生、發展過程，考查考生探索、研究及理性思維，讓考生感受到研究問題必備的基本思想．（Ⅱ）問是反映一般規律的等式，答案不唯一.

三角恒等式還可以是：

以上各式中的α，β為任意角.

由此為依據編擬出2012年福建理17題：

啟示：高考題雖植根于課本卻活于課本，高于課本.課本是數學知識的載體，是數學思想方法的生長點.這種回歸教材的做法，說明課本習題不僅是教師施教、學生學習的主要材料，也是高考試題、自主招生、競賽試題命題的重要依據.教學中要回歸教材，要關注對教材的研究和利用，用好、用活教材，克服脫離教材的“題海戰術”.

如何用好、用活教材，充分挖掘課本例習題的潛在功能？下面筆者以人教版數學必修二《直線、圓的位置關系》習題4.2第133頁B組第3題加以說明.

源題2 已知圓x2+y2=4，直線l：y=x+b.當b為何值時，圓x2+y2=4上恰有3個點到直線l的距離都等于1.

探究：

當b為何值時，圓x2+y2=4上恰有1個點到直線l的距離都等于1.

當b為何值時，圓x2+y2=4上恰有2個點到直線l的距離都等于1.

當b為何值時，圓x2+y2=4上恰有3個點到直線l的距離都等于1.

當b為何值時，圓x2+y2=4上恰有4個點到直線l的距離都等于1.

討論結果用圖1表示如下：

圖1

變式1：（定圓定直線）圓x2+2x+y2+4y－3=0上到直線x+y+1=0的距離為點共有（ ）.

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

變式2：（定圓動直線）（2010年江蘇理9）在平面直角坐標系中，已知圓x2+y2=4上有且只有四個點到直線12x－5y+c=0的距離為1，則實數C的取值范圍是______.

圖2

變式3：（動圓定直線）若圓（x－3）2+（y+5）2=r2上有且只有兩個點到直線4x－3y=2的距離為1，則半徑r的取值范圍是（ ）.

A.（4，6）B.［4，6］C.（4，6］D.［4，6］

圖3

以運動變化的視角觀察：設圓的半徑為r，圓心C到直線l的距離為d，圓上的點到直線l的距離為定值m.

（1）當d＞r+m時，圓上到直線l的距離等于定值m的點的個數為0（如圖4）；

（2）當d=r+m時，圓上到直線l的距離等于定值m的點的個數為1（如圖5）；

（3）當r－m＜d＜r+m時，圓上到直線l的距離等于定值m的點的個數為2（如圖6）；

（4）當d=r－m時，圓上到直線l的距離等于定值m的點的個數為3（如圖7）；

（5）當d＜r－m時，圓上到直線l的距離等于定值m的點的個數為4.

圖4

圖5

圖7

圖6

各種解的情況也可用圖8表示出來：

圖8

類比發現兩圓位置關系的5種情況也可以用圖9表示出來.

圖9

拓展：繼續探究“圓上存在若干點到某個點的距離等于定值的問題.

變式4：如果圓（x－a）2+（y－a）2=4上總存在兩個點到原點的距離為1，則實數a的取值范圍是______.

通過探索，可發現，此類問題可以轉化為兩個圓之間的位置關系（相交等問題解決）.

深化：

本題是作為填空壓軸題，有一定的難度，此題背景新穎、能力要求高、內在聯系密切、思維方法靈活，充分體現了新課程理念，注重知識的形成過程，關注學生獲得知識的過程，考查學生創新精神和實踐能力，這種數學問題靠“題海戰術”是解決不了的.

解析：（轉化為圓上存在點到直線距離等于定值問題）

課本習題一般都具有典型性、代表性、示范性、遷移性，它是高考數學試卷命題的源泉，積淀著一些重要的數學方法、數學思想，或提供某些重要的結論.教師要精心設計和挖掘課本習題的教學功能，選擇典型習題，培養學生思維的發散性、靈活性、敏捷性；善于用聯系的觀點研究教材中的變式，通過改變已知條件或結論進行多方位、多角度的演變、拓展、延伸，形成題網，組織引導學生對解法的簡捷性反思評估，不斷優化思維品質，培養思維的嚴謹性、批判性，要幫助學生跳出題海，觸類旁通，從而真正提高學生的解題能力和創造性思維.