對(duì)一個(gè)代數(shù)不等式的另證、加強(qiáng)與推廣

☉上海市松江二中 衛(wèi)福山

問(wèn)題1：已知x，y，z是正數(shù)且x+y+z=1，求證：

文［1］利用均值不等式給出問(wèn)題1一個(gè)簡(jiǎn)單初等證明，為便于學(xué)生的理解與掌握，文［2］給出該不等式的一個(gè)加強(qiáng)形式：

問(wèn)題2：已知x，y，z是正數(shù)且x+y+z=1，求證：

筆者閱讀文［1］、［2］后受益匪淺.無(wú)獨(dú)有偶，最近筆者偶然在《中等數(shù)學(xué)》雜志2006年第4期（參見(jiàn)文［3］）看到如下的一個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題3：已知x，y，z是正數(shù)且x+y+z=1，求證：

在文［3］中安振平老師也是運(yùn)用均值不等式給出了證明，但技巧較大，顯然問(wèn)題3與問(wèn)題1很相似，筆者在閱讀文［1］、［2］的基礎(chǔ)上給出問(wèn)題3的另一種簡(jiǎn)單的初等證明、加強(qiáng)及問(wèn)題1、3的一個(gè)更一般化的推廣.

1.問(wèn)題3的另兩種簡(jiǎn)單的初等證明

從而原不等式成立.

注：以上證明從均值不等式出發(fā)，方法與技巧簡(jiǎn)單，便于學(xué)生理解與掌握.

去掉對(duì)數(shù)符號(hào)即得證.

2.問(wèn)題3的加強(qiáng)

我們可以把問(wèn)題3加強(qiáng)如下：

問(wèn)題4：已知x，y，z是正數(shù)且x+y+z=1，求證：

于是不等式得證.

注解：由于

3.問(wèn)題1、3的一個(gè)更一般化的推廣

在以上問(wèn)題1、3研究的基礎(chǔ)上，我們可以給出更一般化的推廣：

以上m個(gè)不等式相乘得

利用柯西不等式的推廣有：

從而原不等式得證.

問(wèn)題6：已知a1，a2，…，am∈R+且a1+a2+…+am=1，m，n，k∈N*，求證：

1.李歆.也談一個(gè)不等式的簡(jiǎn)單初等證明［J］.數(shù)學(xué)通訊（下半月），2010（9）.

2.安振平.一個(gè)代數(shù)不等式的加強(qiáng)［J］.數(shù)學(xué)通訊（下半月），2010（9）.

3.安振平.高中問(wèn)題173及解答［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2006（4）.

4.蔣明斌.一個(gè)條件不等式的再推廣［J］.不等式研究通訊，2006（2）. ■