函數符號f（x）中“對應關系f”特征解讀

☉甘肅省天水市第一中學 宮前長

函數符號f（x）中“對應關系f”特征解讀

☉甘肅省天水市第一中學 宮前長

人教A版《數學》（必修1）“函數及其表示”給出了函數的定義及其表示，但學生在學習過程中仍然感到：理解困惑多、解題疑慮多.究其原因不外乎對函數概念的理解有問題，下面從幾個方面對f（x）中“f”的特征解讀如下：

一、函數概念的基本特征

函數概念的學習，主要表現在對概念的抽象性、多元性、層次性和系統性等幾個方面的理解和深層解讀.

1.函數概念的形成過程凸現出抽象性

函數在初中就有了一種描述性的定義（變量說法），即有些變量和變量之間存在著依賴關系，一個量的變化引起另一個量的變化，這樣就建立起了反映變量之間相互依賴關系的概念——函數關系，形成了簡單的函數概念，未涉及函數符號f（x），雖然這樣的描述并不是十分嚴格，但這是認識函數關系的一個重要視角，從一個方面，揭示了函數的本質.學生學習的函數是一些簡單的、具體的函數，如正比例函數、反比例函數、一次函數和二次函數.

從常量到變量，這是認識函數思想的一個飛躍.函數可以簡單地理解為一個變量與另一個變量之間的一座“數量橋”，函數是“數量橋”就已經表明了函數的功能：運算，即給一個具體的自變量的值，通過具體的解析式求出對應的函數值.

進入高中函數的定義由原來的“變量說”過渡到“對應說”，對函數有了更深入的詮釋.函數定義的深刻涵義是通過對本質屬性（對應）的挖掘、思考，經抽象之后的數量之間的對應關系，采用特定的數學符號f（x）表示.函數符號f（x）中蘊藏著函數形式化的對應關系“f”.這就說明函數概念形成的過程實質上是抽象出某一類數對應共同本質屬性的過程.

2．函數概念的表征形式體現出多元性

函數概念的表征形式多樣，如表格、圖像、符號、解析式等.不同的表征含有不同的思維方式.從表格、圖像等函數表征形式（直觀、形象），到采用解析式、符號等函數表征形式（抽象），最后到抽象思考（直接采用函數符號進行思維操作），呈現出函數概念的表征形式具有多元性特征.

3．函數概念的理解深度表現出層次性

函數概念的抽象性表明學習函數時要按層次遞進的過程進行，這樣才能不斷深入地抽象概括函數概念，更好地把握函數的本質.雖然函數概念的多元表征體現了不同的理解層次，但其本質是不變的.

對形式化的函數符號f（x）、對應法則“f”的涵義的認識基本上集中在理解“f”上，如：①對應關系“f”在變量x取什么范圍內的實數時才成立；②對應關系“f”對給定的實數x作用之后的結果是f（x）；③對應關系“f”體現出具體的算法要確定、清楚.

4．函數概念的內涵把握呈現出系統性

函數概念具有很強的系統性，小學階段數、量、圖、數據（一批數）是引導兒童進入數學的源泉，數和量常常交織在一起，常說數量，數是用來刻畫量的大小的一種工具.初中階段，有兩種量（常量和變量），或有些量是已知的，有一些是未知的，滲透未知量的概念，在量的認識上是個飛躍，接著建立起了反映變量之間相互依賴關系的概念——函數關系（變量說）.高中階段利用更豐富的實例引導學生認識函數是刻畫日常生活和其他學科規律的重要數學模型，由于函數模型的重要地位，進一步抽象概括出函數的嚴格數學定義.在直角坐標系中，函數圖像就像一座橋梁把變量x和y聯系起來了.

二、剖析函數定義

1.從教材編排來分析

函數的定義在初中階段采用傳統方式定義，即“設在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就稱y是x的函數，x叫做自變量”；在高中階段函數的定義采用近代定義方式，即“設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數（function）.記作：y=f（x），x∈A.”

傳統定義是從運動變化的觀點出發，而近代定義是從集合的對應、映射的觀點出發，側重點不同，體現的涵義也不同，自然理解的層次、方式也不同.在近代定義中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域（domain）；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f（x）︳x∈A}叫做函數的值域（range）.函數符號“y=f（x）”中的f（x）表示與x對應的函數值，是一個數，而不是f乘x的積，進一步讓學生體會函數是描述變量之間依賴關系的重要數學模型，并能用集合與對應的語言來刻畫函數，感悟對應關系“f”在刻畫函數概念中的作用.讓學生在不同學習階段采用不同的函數定義編排方式，逐步引導學生理解函數定義經歷從簡單走向深層，從而提升了學生的思維層次.

2.從數學角度來分析

由函數概念的定義可知，理解函數關鍵要以對應法則“f”的意義理解作為基礎，進一步加深對函數符號f（x）的本質理解、把握.明確函數符號f（x）不僅要把f（x）看成一個數值（函數值），還要看成一個對應法則“f”作用變量x的一個過程，同時還要看成一個對應法則“f”作用變量x的算法，理解這一點在數學角度來看是很重要的.

如果在同一道數學題中出現f（x）和f（2x-1），就已經表明兩個函數是由同一個對應法則“f”形成的，在邏輯聯系上具有很強的抽象性，數學形式化符號表示使兩個函數的定義域指向不同的范圍.

3.從教學角度來分析

函數概念的教學中，一定要講清函數概念形成的思路，邏輯嚴謹.表述準確、簡捷規范，數學符號表述要完整.使函數概念形成過程的抽象性和學生的認知結構、經驗“對接”順利，為更好地將函數知識的學術形態轉化為教育形態起到重要的作用.下面通過一個數學案例來剖析：

案例：已知函數f（x）的定義域是［-2，5］，求函數f（2x-1）的定義域.

剖析：前面學過函數符號f（x）是一個抽象形式化的符號，其中蘊藏著豐富的涵義，只有深刻理解，才能清楚、明白函數符號f（x）鮮活生動的本質涵義.牢牢抓住函數概念的定義，明白函數符號f（x）與f（2x-1）的數學涵義，揭開數學形式化表示的“外殼”，透過形式表示弄清f（x）與f（2x-1）的定義域的本質含義，才能讓學生進一步的深層次理解函數的概念.

函數f（x）的定義域是［-2，5］是指對應關系“f”作用的對象x∈［-2，5］時才有意義，從而可以推知f（2x-1）中的對應關系“f”作用的對象2x-1∈［-2，5］時才有意義，此時x的范圍就是函數f（2x-1）的定義域.

從上述的案例剖析可知，重點讓學生深刻理解對應關系“f”的涵義，需要分步遞進的方式，通過實際案例從不同的層面逐漸理解，對核心內容全面把握.若對“自變量的取值范圍”、“對應關系”的關注不全面，則導致對函數概念（定義域、對應關系和值域）缺乏系統性認識，自然削弱了定義域對函數重要性的認識.

4.從學生角度來分析

剛上高中的學生對函數的概念理解存在的問題有：對函數定義域的理解不到位，心理仍處在初中的變量階段，對函數符號f（x）的理解只是一種感性認識，尤其是函數形式化的符號表示不習慣、不規范、不完全明白，在處理與函數相關的問題時就會存在認識上弄不清、邏輯上理不順的困難，解決這個問題的關鍵還是對函數符號f（x）中對應關系“f”的理解.

三、案例剖析

1.案例

2.案例中函數f（x）中“f”表征的特征

3.深層剖析

函數f（x）的定義域是自變量x的取值范圍，從而深層理解為：f（x）中的x可以用任意數或代數式來替換（必須在給定范圍內），但一定要牢記替換部分應與x取值范圍相同.如上述案例中的整體ax或的取值范圍是［－1，1］，否則會出現問題.注意：對于復合函數y=f［g（x）］的定義域依舊是指自變量x的范圍，而不是中間變量g（x）范圍，此時隱含了“g（x）與f（x）中的x是一致的”特征，即范圍相同.函數的定義域理解了，函數的本質、靈魂就抓住了，對抽象函數問題的理解才能更深刻.解決問題時，從函數概念出發，抓住問題的本質，容易找到各問題的求解方法.可見函數概念的理解對解相關函數問題是多么的重要.

對于函數f（x）有時沒有具體的解析式表示，只是數集之間一種對應關系的抽象體現，如f（f（x））表示“自變量x按照對應關系f得到的f（x）重新作為變量按照對應關系f再進行一次映射（運算）得到的函數值”.“f”的涵義在沒有具體的表達式表達某種關系時，可以理解為兩個數集之間“有（存在）某種”對應關系即可.

四、教學啟示

1．強化函數概念的教學

函數概念的教學實質就是把抽象的函數定義與學生已有的變量描述的函數定義聯系起來，實現函數概念的有效引入、理解和運用.在對函數概念的抽象化、形式化、系統化和具體化的過程中，比較、分類、類比和評價必須跟進，消除學生對數學符號形式化表示的困惑，有利于讓學生對函數概念有一個完整的系統認識和理解.

2．抓牢函數主線思想

函數思想是高中數學課程的一條主線，從一個角度鏈接起了高中數學課程的許多內容，函數的教學一定要突出函數圖像的地位.不管是用解析式法、列表法還是圖像法去刻畫一個具體函數時，一定要讓學生在腦子里形成一個圖像.只有把握住函數圖像才能把握住一個函數的整體性質，這是數形結合的基礎.

3．促進學生理解數學

函數概念的抽象性不能采用告知學生方式進行，一定要通過典型案例教學，牢牢抓住符號f（x）的解析式，通過剖析，深化對函數概念的定義符號f（x）的認識，尋找蘊涵其中的數學邏輯關系，讓函數符號f（x）中對應關系“f”的本質顯露出來，即“f”作用到x上才有意義，也突出了“f”在函數定義中的核心所在.

總之，只有深刻理解函數符號f（x）中對應關系“f”具有鮮明的對應關系、求函數值和具體操作的算法特征，深刻地強化對符號f（x）的理性思維層次的理解，才能提升學生的抽象思維能力.