談橢圓化圓的方法、結論及運用

☉江蘇省淮安市清河中學 石禮標

眾所周知，每一份高考試卷都凝聚了多位命題專家與高中一線頂尖教師的智慧.因此高考試題有的立意新穎，設計巧妙，令人叫絕；而有的題目貌似平淡，卻暗藏玄機，領會后令人不勝遐想，2012年湖北理科第21題就是這樣的好題！

一、考題再現

例1（2012年湖北理21題）設A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足（m＞0，且m≠1）.當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標；

（2）過原點且斜率為k的直線交曲線C于P，Q兩點，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H.是否存在m，使得對任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由.

首先解決第（1）問：

解：（1）設M（x，y），A（x0，y0），則由，可得，所以，將（x，y）代入00圓方程得

當0＜m＜1時，曲線C是焦點在x軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為；當m＞1時，曲線C是焦點在y軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為

二、課本尋蹤

2008年江蘇教育出版社出版的選修4－2第16頁有這樣一道例題：

解：設P（x，y）為圓C上任一點，在伸壓變換下變為另一點P′（x′，y′），

三、橢圓通過伸壓變換得到圓后的一些基本結論

（1）若A，B，C三點共線，則A′，B′，C′三點共線；若AB∥CD，則A′B′∥C′D′；

（2）若AB斜率為k，則A′B′的斜率為mk；若C分線段AB的比為λ，則C′分A′B′的比也為λ；特殊地若C為AB中點，則C′也為A′B′中點；

（4）變化后封閉圖形的面積是變化前對應封閉圖形面積的m倍，如S△A′B′C′=mS△ABC.

上述基本結論證明較簡單，證明過程略.

四、實際應用

1.解決橢圓中直線位置關系問題

如圖1，在xOy平面內設直線PQ的斜率為k，P（s，t），則Q（－s，－t），N（0，t），

圖1

圖2

即存在m=，使其在對應的橢圓上，對任意的k>0，都有PQ⊥PH.

評注：從本題可以看出，橢圓轉化為圓后，合理利用了Q′N′⊥P′H′，迅速得到斜率之間關系，進而轉化到原圖形中解決垂直求參問題.用此法運算量很小，參考答案的運算量與之無法比擬.做完該題，有似曾相識的感覺，2011年江蘇高考第18題第（3）問與此題如出一轍，僅僅是焦點在x軸上而已，當然也可用上面方法解決.

2.解決橢圓中線段比值問題

如圖3，設直線AB斜率為k，則直線A′B′斜率為2k（如圖4），故直線A′B′方程為y′=2k（x′－b），即2kx′－y′－2kb=0.由=3得A′F′=3F′B′，過點O作ON′⊥A′B′，

圖3

圖4

則N′為線段A′B′中點，則F′為線段N′B′中點，

又k＞0，則k=，故選B.

評注：本題將橢圓中直線斜率、線段比例關系轉化為相應圓中直線斜率與線段比例關系充分利用圓的中點弦性質，求解顯得十分簡單.這類問題雖在橢圓中解決方法很多，但轉化為圓的問題加以解決無疑是最簡捷的方法.

3.解決橢圓中面積問題

（1）求橢圓方程；

（2）求△ABP面積取最大值時直線l的方程.

圖5

圖6

設直線A′B′方程為y′=－x′+t，即x′+y′－t=0，

評注：本題將橢圓轉化為圓的好處是：直線A′B′的斜率可直接得到，且線段A′B′的長度利用圓中求弦長方法十分簡單，同時P′到A′B′距離表示也就簡單了，因此表示△P′A′B′的面積比在橢圓中表示△PAB面積簡捷的多.如果涉及到面積具體值或面積比值問題用此法更簡單，如2011年山東理壓軸題最后一問.

橢圓化圓解決橢圓問題，可以讓我們領會到知識之間并不是孤立的，促使我們在研究問題時，要善于轉化，善于在知識之間建立合理聯系，能將較復雜問題合理向簡單問題轉化.但要注意的是：橢圓化圓是一種方法，但畢竟不是萬能的，只是對一些特定的題目可達到簡化運算的目的.在具體解決橢圓問題時要靈活運用，橢圓化圓只是讓我們多了一種選擇，當然也就多了一條取勝之路.■