眾里尋它千百度，那“題”卻在“教材”處——一道數學模擬試題的命制歷程及感想

☉江蘇省通州高級中學 馬 進

教材中例題和習題是高考和模擬試題編制的題源.在高三復習迎考階段，很多時候，在編制模擬試題或高考題時，會通過對教材中問題的適當拓展或延伸，改變題目的原有呈現形式，實現問題的推陳出新.這種“源于課本又高于課本”的考題，可以引導學生立足教材，強化“三基”的落實.對學生而言，這些問題看上去很熟悉，但與教材問題又有區別，解決問題的方法卻是類似的，遷移了教材中解決問題的基本思想和方法.對教師而言，編制題目的過程體現了研究性學習的過程，體現了由特殊到一般，由封閉到開放的過程，同時也是提高教師命題能力的過程．近期，筆者參與命制了一套高三模擬試卷，現將該試卷中第14題命制的方式與過程以及命題后的反思展現出來，供同仁參考，不當之處敬請批評指正.

一、考題呈現

1.考題及其分析

若實數a、b、c、d滿足 （b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，則（a-c）2+（b-d）2的最小值為______.

分析：（a-c）2+（b-d）2表示點（a，b）與點（c，d）之間距離的平方.

圖1

2.考后反響

這道試題作為填空題的最后一題，其難度系數為0.32，有一定的區分度.考試結束后與部分學生和教師的交流過程中，普遍反映本題具有新意，與高考試題接軌，較好的考查了學生運用數學知識分析問題和解決問題的能力.

二、命制歷程

1.題源

此題源于蘇教版高中數學選修1-1第69頁練習題的第3題：

選題緣由：接受任務時，命題組要求筆者出兩道導數試題，其中一道填空題，一道解答題.由于導數是高考的必考內容，主要內容有導數的幾何意義、單調區間、極值、最值等.為了全面考查導數知識，筆者決定在填空題中考查導數的幾何意義.

2.試題的演變過程

鑒于考查目標，該題在原創之初如下：

命制感想：這樣命制主要是保持了在原來考查導數的意圖，同時還考查了學生轉化的思想.但是感覺上沒有靈氣，缺乏高考的味道.經過再三思考，筆者做了如下調整：

雛形2：已知直線l：y=x+2與曲線C：y=-x2+3lnx，則曲線C上任意一點到直線l的最短距離為______.

命制感想：在整個組卷過程中，由于填空題中缺少一道把關題，因此命題組讓筆者將這道試題再進行加工.為了增加這道題的難度，筆者試圖增加題目的新意.于是筆者考慮將題目中的直線方程隱去，于是做了如下的修改：

雛形3：已知a∈R，若實數x，y滿足y=-x2+3lnx，則（ax）2+（a+2-y）2的最小值是______.

命制感想：本題將原來的直線上任意一點到曲線距離、兩點間的距離公式表示出來，即為點P（a，a+2）到點Q（x，y）之間距離平方的最小值.而P（a，a+2）、Q（x，y）分別在直線l：y=x+2和曲線C：y=-x2+3lnx上，問題的實質就是雛形2.在此基礎上，筆者想能不能不直接給出曲線的方程呢？于是做出如下的調整：

雛形4：已知a∈R，b>0，則（a-b）2+（a+2+b2-3lnb）2的最小值為______.

命制感想：在命制完雛形4后，筆者感覺求解的式子過于煩瑣，決定將待求的式子變簡單點，將直線和曲線的條件放到條件中去，于是就得到如下的考題.

考題：若實數a、b、c、d滿足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，則（a-c）2+（b-d）2的最小值為______.

三、命題后的感想

教材凝聚了專家們的心智，教材中的例、習題都具有很強的基礎性、典型性與示范性，它是教師教學的基礎和根本，也是命題者的立足點.因此無論是高考還是模擬考試，在試題的命制過程中，都會考慮選用教材中典型的例、習題，作為測試內容進行考查.引導教師重視教材，扎扎實實地用好教材，引導學生重視課本，擺脫題海，切實打好基礎.

加強教材例、習題的改編，能夠引導學生重視教材.回歸教材，能夠使學生在清晰雙基的基礎上牢固掌握常見的數學方法，能夠使學生在深刻理解教材知識的同時更有效地形成知識網絡體系，還能夠讓學生有本可依，夯實基礎，培養學習數學的自信心.

對于我們教師尤其是青年教師而言，通過改編試題和原創新題，可以讓我們站得更高，看得更遠；可以更方便地看出某類問題的實質所在；可以讓我們在習題教學中更熟練地進行引申、延拓與變式，提高學生的應試能力；可以讓我們在課堂教學中更加突出重點，注重方法，構建體系；原創更接近于高考的高質量試題，能更科學合理地檢測出學生的學習狀況與水平.

羅增儒教授說：“以能力立意命題，利于題型設計，易形成綜合自然、新穎脫俗的試題.”總之，命制試題具有很深的學問.作為一線教師，我們必須要加強學習與研究，學習命題專家的命題技巧和技術，研究高考試題，研究教材，從中捕捉試題命制的素材，尋找靈感.

1.宋志永，陳云平.高中數學試題命制的一些思考［J］.中學數學教學參考（上旬），2012（4）.

2.王弟成.從模擬試題的解答，看教材使用的缺失［J］.中學數學教學參考（上旬），2011（12）.

3.沈新權，葉鵬.一道高考試題的背景及啟示［J］.中國數學教育（高中版），2009（12）.