第二個(gè)重要極限公式的一個(gè)新的推廣及應(yīng)用

慕曉凱，任建功

（廣東培正學(xué)院 人文學(xué)科與基礎(chǔ)教學(xué)部，廣東 廣州 510830）

慕曉凱，任建功

（廣東培正學(xué)院 人文學(xué)科與基礎(chǔ)教學(xué)部，廣東 廣州 510830）

本文通過對第二個(gè)重要極限公式特征的分析，得到了一個(gè)新的推廣形式并加以證明.最后，通過實(shí)例說明了推廣式的應(yīng)用.

第二個(gè)重要極限；推廣；應(yīng)用

極限是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)有力工具，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分等概念的建立均離不開極限思想.在計(jì)算極限的各類題型中，利用兩個(gè)重要極限公式進(jìn)行求解是一個(gè)重要方法，其中第二個(gè)重要極限公式尤為常見.但是該公式特征不易把握，首先，底數(shù)必須是1加上一個(gè)無窮小量；其次，指數(shù)一定要與底數(shù)中的無窮小量互為倒數(shù).因此，初學(xué)者往往會(huì)顧此失彼.此外，在利用第二個(gè)重要極限公式解題時(shí)常常要用到配系數(shù)法或變量替換法，不僅比較繁瑣，而且也更容易出錯(cuò).

為此，文[1]對指數(shù)與底數(shù)中無窮小量的倒數(shù)關(guān)系進(jìn)行了推廣，得到如下結(jié)論：

引理1 設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)在點(diǎn)x（0x0可以為無窮大）的某一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足如下條件：

此后，文[2]中又對公式中的底數(shù)進(jìn)行了推廣，得到下面的結(jié)論：

引理2 設(shè)a0,a1,a2,…,an為任意實(shí)數(shù)，則

這些結(jié)論無疑使第二個(gè)重要極限公式的應(yīng)用范圍得到了更大的擴(kuò)展.本文在此基礎(chǔ)上將這一公式做了進(jìn)一步的推廣，得到了更為一般的結(jié)論：

定理 已知limu(x)=1,limv(x)=0,limφ(x)=∞（.注：符號lim下面沒有標(biāo)明自變量的變化過程，是指對x→x0和x→∞都適用.）若.

〔1〕唐曉芙,裴銀淑.重要極限的推廣[J].鞍山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003-04,5(2);25-27.

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1673-260X（2013）02-0001-01