巧構輔助函數證明微分中值定理

呂端良 王云麗

(山東科技大學 泰安校區，山東 泰安 271000)

高等數學中微分中值定理的證明方法比較多，本文受高等數學(同濟五版)P132頁第13題啟發，通過構造一個三階行列式輔助函數，應用Rolle微分中值定理，證明了Lagrangge微分中值定理和Cauchy微分中值定理。

定理 設函數f(x)、g(x)、h(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，則在區間(a，b)內至少存在一點 ζ，使得

則有該函數在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且根據行列式的性質得

所以函數F(x)在區間[a，b]上滿足Rolle微分中值定理的條件，故由Rolle微分中值定理知，在區間(a，b)內至少存在一點 ζ，使得 F'(ζ)=0

又根據行列式的性質及求導公式得F'(x)=

推論1.(Lagrange微分中值定理) 設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，則在區間(a，b)內至少存在一點ζ使得

證明 構造輔助函數，在定理1證明中的輔助函數F(x)里，令g(x)=x、h(x)=1，該定理就得到了證明。

推論2.(Cauchy微分中值定理) 設函數f(x)、g(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，則在區間(a，b)內至少存在一點ζ，使得

證明 構造輔助函數，在定理1證明中的輔助函數F(x)里，令h(x)=1，該定理就得到了證明。

[1]同濟大學應用數學系.《高等數學》.高等教育出版社.2011.5