淺談駐波實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)理論及其“二分頻“現(xiàn)象

常 理

(華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 物理實(shí)驗(yàn)中心，廣東 廣州 510800)

駐波實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的一個(gè)重要組成部分，可以讓學(xué)生對(duì)駐波形成條件、橫波產(chǎn)生與傳播等形象直觀地理解，是力學(xué)演示實(shí)驗(yàn)的重要內(nèi)容之一。駐波實(shí)驗(yàn)研究種類多，如驗(yàn)證頻率與波長的關(guān)系、驗(yàn)證波長與張力的關(guān)系、平面駐波和立體駐波判別、“二分頻“現(xiàn)象等等。各類研究都離不開駐波實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)理論，只有有效掌握基礎(chǔ)理論，方可對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行清晰合理的解釋和有效的改進(jìn)。如在頻率測(cè)量中，弦線與音叉臂平行共振或者是垂直共振是最常見的兩種實(shí)驗(yàn)方案，實(shí)驗(yàn)中用平行共振方法可以得到的駐波的頻率與音叉的振動(dòng)頻率相同，而用垂直共振法得到的駐波的頻率僅有音叉的振動(dòng)頻率的50%，這種“二分頻”現(xiàn)象如何讓學(xué)生利用基礎(chǔ)理論知識(shí)與物理規(guī)律去理解，是實(shí)驗(yàn)教學(xué)需要重點(diǎn)探討的問題。

1 駐波實(shí)驗(yàn)原理理論

1.1 駐波形成理論

駐波的形成是張緊的弦線在電振音叉的帶動(dòng)下發(fā)生振動(dòng)，促使得入射波形成，再在弦線的支撐點(diǎn)滑輪時(shí)發(fā)生反射，從而促使反射波也形成，在迭加的情況下，當(dāng)達(dá)到某一條件就可以發(fā)生共振，形成駐波，其方程為：

在x=0處，y=0，由1-1式可得，當(dāng)?shù)竭_(dá)反射條件時(shí)，可知在弦線的另一端必定出現(xiàn)另一個(gè)節(jié)點(diǎn)，即有：

由1-1和1-2式可知，在駐波地弦線上形成時(shí)，弦線長度l必定是半波長n倍(n為整數(shù))，所以，駐波實(shí)驗(yàn)可以用于測(cè)試波長。

1.2 橫波傳播理論

橫波傳播理論主要討論傳播速度與波長。設(shè)x軸為正方向傳播，若橫波地張緊的弦線上向正方向傳播，取某一小段作AB=ds為研究對(duì)象。設(shè)弦線的線密度用ρ表示，弦線質(zhì)量用ρds表示，AB的張力分別為TA、TB，與沿弦線切線方向一致，與正方向x軸的交角分別是?A、?B角。一般情況下，橫波在沿線上傳播時(shí)，x方向并無明顯的振動(dòng)，因此，在AB段上的張力分量為0，可以得：

由力學(xué)知識(shí)可得在y方向AB的運(yùn)動(dòng)方程為：

在AB段發(fā)生的小振動(dòng)，?A、?B比較小，可以認(rèn)為 ds≈dx，cos?A=cos?B=1，sin?A=tg?A，sin?B=tg?B，可導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以得到：

由1-4與1-5式可知，TA=TB，這就說明了弦線的張力比較穩(wěn)定，不隨時(shí)間和地點(diǎn)變化而變化，設(shè)弦線張力為T，有：

由泰勒級(jí)數(shù)展開式推導(dǎo)可得：

由1-8式可知，波長λ在橫波傳播速度v、線密度ρ及張力T都知道的情況下，可以直接求解得出，波長隨著張力變化而變化，并可利用1-2式進(jìn)行驗(yàn)證。

2 兩種共振實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及其理論分析

下圖為弦線與音叉臂平行共振及垂直共振實(shí)驗(yàn)圖。當(dāng)弦線處在a位置時(shí)，而且保持張力為一定的值，就可以通過調(diào)整弦長來觀察駐波的波形。根據(jù)下圖下示，通過變換方位對(duì)來實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行分析。

2.1 弦線與音叉臂平行共振

在0-a方向上，通過調(diào)節(jié)得出弦長是半波長的偶數(shù)倍且駐波穩(wěn)定時(shí)，保持張力和弦長不改變，通過逐漸增大θ，波形穩(wěn)定之后，此時(shí)觀察到水平方向與豎直方向的波長比是1：2，同期也是1：2，當(dāng)張力和弦長發(fā)生改變時(shí)，弦上就會(huì)生產(chǎn)一些復(fù)雜的波形。

通過以上的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，我們可以得出，當(dāng)弦線在音叉的擺動(dòng)下，容易產(chǎn)生擺動(dòng)與拉伸的效果，并且產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的二駐波，在迭加的情況下，產(chǎn)生了復(fù)雜的駐波。在滿足實(shí)驗(yàn)要求時(shí)，二駐波波長為1：2，與水平方向與豎直方向波長比相吻合。由實(shí)驗(yàn)圖可知，音叉在水平方向上擺動(dòng)，這樣駐波的形成必定是水平平面;而橫波的形成主要是由于重力作用，因此駐波的形成必定為垂直平面，水平和豎直兩個(gè)不同方向觀察的波形是1：2。在偏離實(shí)驗(yàn)條件情況下，弦線的擺或者是拉伸沒同時(shí)滿足形成駐波條件，此時(shí)就會(huì)出現(xiàn)迭加復(fù)雜的平面波。

2.2 弦線與音叉臂垂直共振

由于音叉擺動(dòng)是產(chǎn)生橫波的源頭，因此，要獲得穩(wěn)定的駐波，調(diào)整弦長也是一個(gè)很好的方法，但這方法與普通的方法存在著較大的區(qū)別，可以在同一平面上的兩個(gè)幅度差異比較大的垂直振動(dòng)進(jìn)行拉伸，從而影響主駐波。當(dāng)弦線換成0-a，0-d時(shí)，也可以產(chǎn)生駐波，但最主要是以叉水平運(yùn)動(dòng)為主，更改后變化不大。因此，可以得出音叉擺動(dòng)同時(shí)作用于水平弦線的與垂直平面弦線，但通是以水平分量為主，垂直分量成為了影響主駐波的重要因素，等垂直分量明顯時(shí)，弦上的波形就越復(fù)雜。

3 駐波實(shí)驗(yàn)“二分頻”現(xiàn)象

在上述實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)弦線與張力滿足一定條件時(shí)，就會(huì)看到弦線產(chǎn)生比較穩(wěn)定而清晰的共振駐波，設(shè)固定端為波節(jié)。在實(shí)驗(yàn)中，如果弦線與音叉臂發(fā)生平行共振且形成駐波的半波數(shù)為偶數(shù)，那么，在不改變其他條件時(shí)，讓弦線與音叉臂垂直，可以看到狀態(tài)依然是共振狀態(tài)，而且線上半波數(shù)變成了原來的一半，共振頻率僅是原來的一半，這就是“二分頻”現(xiàn)象。

針對(duì)“二分頻”現(xiàn)象，解釋有兩種方法，一是根據(jù)基本的物理規(guī)律透過現(xiàn)象看物理本質(zhì)，作出一定的解決;二是通過數(shù)值演示，讓學(xué)生在過程中受到啟發(fā)。由振動(dòng)與波動(dòng)理論可知，形成共振駐波有兩個(gè)條件，一是音叉的作用力對(duì)弦線做正功，二是弦線長度應(yīng)當(dāng)是波長的整數(shù)倍。現(xiàn)通過數(shù)值模似方法來對(duì)“二分頻”現(xiàn)象進(jìn)行解釋。由受迫振動(dòng)條件可知，在音叉給弦線的驅(qū)動(dòng)力對(duì)系統(tǒng)不斷做功，使得系統(tǒng)能量不斷得以補(bǔ)充，從而產(chǎn)生共振駐波。此時(shí)的系統(tǒng)參數(shù)會(huì)發(fā)生系列變化，在重力和張力的作用下，法碼的單擺擺長也呈現(xiàn)出與時(shí)間的致的規(guī)律，關(guān)系如下式。

化簡得：

式中的參數(shù)β會(huì)隨著時(shí)間的改變而發(fā)生變化，由推導(dǎo)得出：

從以上式中看出，3-2式顯然是一個(gè)非線性的微分方程，解決過程非常復(fù)雜，對(duì)于獨(dú)立學(xué)院非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說不作要求，但有條件的院校學(xué)生還可以通過Matlab軟件對(duì)以上方程進(jìn)行數(shù)值求解。

[1]張建從，康良溪.駐波實(shí)驗(yàn)的研究與設(shè)計(jì)[J]教學(xué)儀器與實(shí)驗(yàn).2004年第12期

[2]韓敬，鐘方川，李林.Matlab在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用[J]大學(xué)物理實(shí)驗(yàn).2008年第1期

[3]吳澧旸，謝偉成.駐波實(shí)驗(yàn)演示裝置[J]教學(xué)儀器與實(shí)驗(yàn).2011年第5期